随机变量独立性性质及其判定论文

安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文第1页共14页议随机变量独立性及其应用作者：xxx指导老师：xxx摘要随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念.本文首先介绍了随机变量独立性的定义,随机变量独立性的性质，然后对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性分别给出了不同的判别方法，从而针对不同的问题运用相应的判别方法进行判定，除此还通过随机变量独立性的性质及其判别方法得出了一些相关的推论，并对其应用进行了举例说明.关键词离散型随机变量连续型随机变量独立性联合分布1引言概率统计是研究随机现象中数量规律的一门数学学科，它是近代数学的重要分支，理论严谨、应用广泛，并且与其他学科互相渗透结合.概率论是对随机现象统计规律演绎的研究,由于随机现象的普遍性,使得其具有极其广泛的应用,特别是在科学技术、工农业生产等方面.独立性是概率统计中最基本的概念之一,无论在理论研究还是在实际应用中都具有特别重要的意义.概率论和数理统计已有的成果大部分都是在某种独立性的前提下才得到的.因而随机变量独立性的研究倍受重视.随机变量独立性的研究一直经历着缓慢的发展过程.进入二十世纪九十年代后,随机变量独立性判定的研究进入了一个新的阶段.关于这方面的著作、文献逐渐多了起来,如文献[2]中毛纲源对随机变量独立性的判定进行了分析并举例说明;文献[7]中明杰秀等对二维随机变量独立性的判定及其应用等相关内容进行了论述.本文将在此基础上对随机变量独立性做一下详细、全面的论述,重点介绍离散型随机变量和连续型随机变量独立性的判定方法,并对随机变量的独立性的应用进行举例说明.2随机变量独立性的定义定义]1[设),(YX为二维随机变量,若对于任意的实数yx,,事件xX与yY相互独立,即yYPxXPyYxXP,,）（1则称X与Y相互独立.若yxF,为X与Y的联合分布函数,xFX、yFY分别是X与Y的边缘分布函数,则)1(式等价于yFxFyxFYX,.3随机变量独立性的性质及其判别方法3.1离散型随机变量独立性的判定判别法一安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文第2页共14页定理1设二维离散型随机变量YX,的联合分布列为jiijyYxXPp,,,2,1;2,1ji,X的边分缘布列是iixXPp,,2,1i,Y的边缘分布列是jjyYPp,,2,1j,则X和Y相互独立的充要条件为:对所有的取值jiyx,有,2,1;,2,1,jipppjiij.证明充分性：若,2,1,,2,1,jipppjiij,因为YX,是二维离散型随机变量,所以对任意的yx,有,,()()()()ijijijijijijxxyyijijxxyyxxyyijxxyypPXxYyPXxYypppPXxPYyPXxPYy即X和Y相互独立.必要性：若X和Y相互独立,不妨设123123,ijxxxxyyyy,则对任意yx,,有yYPxXPyYxXP,.当11,yyxx时,有1111,yYPxXPyYxXP,即1111,yYPxXPyYxXP,亦即1111ppp.)2(如此进行下去,最后可得,2,1,11jpppjj.安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文第3页共14页如此下去,最后得出.,2,1,,2,1,jipppjiij.由此定理得证.例1设随机变量X和Y相互独立,并且有pYPXP11,0XPqpYP10,10p,定义随机变量为.0,1为奇数若，为偶数；若YXYX问当p取何值时,X和相互独立?解由于0,01,11YXYX,0,11,00YXYX,所以2111,11,1pYPXPYXPXP,pqYPXPYXPXP010,10,1,2000,01,0qYPXPYXPXP,pqYPXPYXPXP101,00,0.由此得,X的联合分布列及其边缘分布列如表1所示.表101jp0pq2qq1pq2ppippq222qp1为使X和相互独立,有X安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文第4页共14页2222222,,2,.pqqpqpqqqpqppqpqpp由于10p，故方程组的解为21p,即当21p时,X和相互独立.判别法二：设YX,是二维离散型的随机变量,它的联合概率分布列为jiijyYxXPp,,,2,1,ji可以用下表所示表21y2yjy1x11p12pjp12x21p22pjp2ix1ip2ipijp且ijijijpp1,0,矩阵ijiijjpppppppppA212222111211称为YX,的联合概率分布矩阵,其行向量记为,2,1,,,,,21ipppaijiii,记YX,的联合分布列AYX~,.引理]7[设1α是非零向量,1α和2α线性相关,则2α可由1α线性表出.证明因为1α和2α线性相关,所以存在不全为零的两个数1和2,使02211αα又因为1α是非零向量,如果02,则01,则02,所以YX安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文第5页共14页1212αα,即2α可由1α线性表出.定理2若AYX~,,则X与Y相互独立的充要条件是联合概率矩阵的任意两个行向量(或列向量)线性相关.证明充分性：若A中任意的两个行向量线性相关,由ijijijpp1,0,则A中至少有一个元素不为零,即至少有一个非零行向量,不妨设1α是非零向量,由引理可知,2α,3α,,iα都可以由1α线性表示,则,2,1,1ikiiαα,11k,且jiiijjpkpkpkpkpkpkpkpkpkA112111212211211121111,这里,2,1,,1jipkpjiij,且111ijijjijiijijpkpkp.又由于X,Y的边缘分布分别为:jjijijipkpxXP1,iijijiiijjkppkpyYP11,因此),,(1111jijiijjiiijjjiiijjijjiyYxXPkppkkppkppyYPxXP即X与Y相互独立.必要性：若X与Y相互独立,由jiijppp,则A中的任意两个行向量可写为,,,,,,,,2121jmjmmmmppppppppppα,,,,,,,,,2121jnjnnnnppppppppppα,显然mα与nα线性相关.安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文第6页共14页推论1若AYX~,,则X与Y相互独立的充要条件是矩阵A的任意两行(或两列)对应元素成比例.推论2若AYX~,,则X与Y不相互独立的充要条件是存在矩阵A的任意两个行向量(或列向量)线性无关.推论3若AYX~,,则X与Y不相互独立的充要条件是存在矩阵A的任意两行(或两列)对应元素不成比例.推论4若AYX~,,则X与Y相互独立的充要条件是矩阵A的秩为1.推论5若AYX~,,则X与Y不相互独立的充要条件是矩阵A的秩大于1.推论6若AYX~,中有某个0ijP,但元素ijP所在的行与列的所有元素不全为零,则X与Y不相互独立.例2从一只装有三个黑球和二个白球的口袋中取球两次,每次去一个球,设.,1;,0第一次取出黑球第一次取出白球X.,1;,0第二次取出黑球第二次取出白球Y分别在放回抽样和不放回抽样的试验条件下写出二维随机变量YX,的联合分布列,并判别X与Y的相互独立性.解1)放回抽样二维随机变量YX,的联合分布列为表30102542561256259且00329664259256256254A,因此1Ar,故X与Y相互独立.2)不放回抽样二维随机变量YX,的联合分布列为表401YXYX安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文第7页共14页02022061206206且10316662206206206202A,因此12Ar,所以X与X不相互独立.3.2连续型随机变量独立性的判定判别法一定理3设YX,是二维连续型随机变量,若它们的联合密度函数和边缘分布函数分别为yfxfyxfYX,,,，并且都是除面积为零的区域外的连续函数,则X和Y相互独立的充要条件为:除面积为零的区域外,恒有yfxfyxfYX,.证明充分性：设yfxfyxfYX,,则对任意的实数yx,,有xyxyYXuvvfufuvvufyxfdddd,,yfxfvvfuufYXyYxXdd.所以,X和Y相互独立.必要性：设X和Y相互独立,则有yYXYXxyvvfuufyfxfuvvufdddd,x--xyYXuvufufdd.因为上式对任意的yx,都成立,于是有yfxfyxfYX,,综上,定理得证.例3]1[若YX,的联合密度函数为8,0,01;,0,xyxyyfxy其他.问X和Y是否相互独立?解先分别求X和Y的边缘密度函数:当0x或1x时,0xfX.当10x时,有安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文第8页共14页3144d8xxyxyxfxX.因此.,0;10,443其他xxxxfX当0y或1y时,0yfY.当10y时,3048ydxxyyfyY.因此.,0;10,43其他yyyfY很明显,yfxfyxfYX,,所以X和Y不相互独立.判别法二定理]2[4设),(YX是连续型随机变量,其联合密度函数为.,0;,),,(),(其他dycbxayxfyxF则随机变量相互独立的充要条件为(i)存在连续函数)(),(ygxh使)()(),(ygxhyxf.(ii)dcba、、、是分别与yx、无关的常数.证明充分性:首先分别求随机变量),(YX对yx、的边缘密度函数.babaYdcdcXdxxhygdxygxhdxyxFyfdyygxhdyygxhdyyxFxf.)()()()(),()(,)()()()(),()(dcba、、、是分别与yx、无关的常数,所以上式积分中的结果dcdyyg)(与badxxh)(是分别与yx、无关的常数,分别记为BA、进一步由联合密度函数的性质,有(,)()()()()()()()()()()(,)bdbdacacXYbdacfxydxdyhxgydxdyfxfyhxgyABhxgyhxdxgydyfxy即)()(),(yfxfyxfYX