从历史到课堂—汪晓勤教授讲座(6)

从历史到课堂——数学教师专业发展的一个视角从历史到课堂引言•HPM•MKT专门内容知识•案例1：三角形内角和•案例2：均值不等式•案例3：点到直线的距离公式内容与学生知识•案例4：用字母表示数•案例5：棱柱的概念内容与教学知识•案例6：三角形中位线•案例7：函数的概念•案例8：和角公式结语一门科学的历史就是这门科学本身。J.W.vonGoethe(1749-1832)引言歌德——歌德《颜色理论》序引言HPM为何与如何之探讨教育取向之历史研究历史相似性实证研究教学实践与案例开发HPM与教师专业发展数学史融入教材研究技术与HPMHPM与大学数学教育自1972年开始HPM成为数学教育的富有特色的研究领域引言教师专业发展信念知识能力教学内容知识学科内容知识内容与课程知识（KCC）内容与教学知识（KCT）内容与学生知识（KCS）专门内容知识（SCK）水平内容知识（HCK）一般内容知识（CCK）教学取向的数学知识（MKT）的构成案例1三角形内角和从泰勒斯的故事引入泰勒斯的发现三角形内角和的发现案例1三角形内角和小组合作，探究一般三角形的内角和案例1三角形内角和123123123321312321321321321123123123等腰三角形拼图方案案例1三角形内角和231231231231231123231231231132123123不等边三角形拼图方案案例1三角形内角和案例1三角形内角和在拼图方案1中，锁定某个三角形，通过添加辅助线来说理。三角形内角和的说理231231231231231123案例1三角形内角和EDCBA132第1组的方案：锁定下中三角形。[与毕达哥拉斯的证明相同]案例1三角形内角和第2组的方案：锁定下中三角形。[与19世纪末美国教科书上的证明相同]NMD1AECB23案例1三角形内角和第3组的方案：锁定下中三角形。[与克莱罗的证明相同]231ABCE案例1三角形内角和第4组的方案：锁定下中三角形。[与欧几里得的证明相同]EDABC123案例2均值不等式问题1：如图，设AC=a，CB=b，CDAB，证明CD是AC和CB的几何中项。（《几何原本》第6卷命题13）问题2：根据该图，你能给出正数a和b的算术中项与几何中项之间的大小关系吗？案例2均值不等式问题3：若1/a，1/c，1/b构成等差数列，则称c为a和b的调和中项。如图，过点C作CEOD，证明DE是AC和CB的调和中项。（帕普斯作图法）问题4：根据该图，你能给出a和b的算术中项、几何中项和调和中项之间的大小关系吗？案例2均值不等式问题5：以O为圆心，OC为半径作半圆，过点O作OD的垂线，交半圆于F，证明DF是AC和CB的均方根（平方平均）。（帕普斯作图法）问题6：根据上述作图法，你能给出正数a和b的算术中项、几何中项、调和中项和均方根之间的大小关系吗？问题5：一根垂直悬挂的杆子，从地面上哪点看上去它最长（雷格蒙塔努斯最大视角问题）？案例2均值不等式案例3点到直线的距离公式00,0AxByTA面积法00AxByCMTA00:lAxByAxBy0000121212PMNTMNSSMTONAxByCCABCAxByCABSRxylOMNQφαPx0,y0案例3点到直线的距离公式022000002200220,coscoscoscosQQAxByCBAxCyBABPMPQyyAxCyBBAxCdyBABAxByCAB三角法案例3点到直线的距离公式000000222200220000220022AxxByyAxByCAxxByyABxxyyxxyyAxxByyABAxByCAB最值法教学设计引入•古埃及一元一次方程问题探究•古希腊丢番图问题的求解形成•用字母表示任意数或一类数巩固•字母表示数的应用小结•字母表示数的意义案例4用字母表示数公元前1700年16世纪公元3世纪古巴比伦人修辞代数：用文字来表达一个方程丢番图缩略代数：用字母表示未知数符号代数用字母表示任意数韦达案例4用字母表示数案例4用字母表示数问题1：一个量，加上它的2/3，它的1/2和它的1/7，等于33。求该量。21133327xxxx案例4用字母表示数问题2：已知两数的和与差，你能求出这两个数吗？案例4用字母表示数问题3：搭5个正方形，需要几根火柴棍？搭任意多个正方形呢？44+134+234+33生：任意多个正方形所需火柴棍数：4+(正方形个数-1)3《几何原本》卷11之棱柱定义一个棱柱是一个立体图形，它是由一些平面构成的，其中有两个面是相对的、相等的、相似且平行的，其他各面都是平行四边形。案例5棱柱的概念Wentworth&Smith(1913)之棱柱定义：有两个面为平行平面上的全等多边形、其他面均为平行四边形的多面体叫棱柱。案例5棱柱的概念案例5棱柱的概念421021124051015202530354045历史上的棱柱定义分布0246810121416181829-18481849-18681869-18881889-19081909-1929欧氏定义改进的欧氏定义棱柱面定义棱锥定义棱柱空间定义案例5棱柱的概念棱柱定义的演进Schuyler(1876)最早对欧氏定义进行改进。棱柱是一个多面体，它有两个面为全等、平行的多边形且对应边平行，其余各面均为以全等多边形对应边为底的平行四边形。案例5棱柱的概念Stone&Millis(1916)的定义：棱柱是这样的多面体，它的两个面为平行平面上的全等多边形，其余各面均为平行四边形、且有一组对边分别为这两个全等多边形的对应边。案例5棱柱的概念案例5棱柱的概念尝试对空间几何体进行归类案例5棱柱的概念几何体的分类，引出多面体案例5棱柱的概念多面体的分类，引出棱柱案例5棱柱的概念棱柱定义的初步构建任务：用自己的语言，以小组为单位尝试给棱柱下一个定义。经过5分钟的讨论，学生逐渐提交成果，笔者将学生的定义分成7类，分别用D1、D2、…、D7表来示，见下表。案例5棱柱的概念类别定义属性D1上下面相同且平行的多面体叫棱柱。底面特征D2两个底面是平行且相等的多边形，侧面是平行四边形。底面、侧面特征D3侧面的棱要平行且长度相等，上底和下底一样的多面体。底面、侧棱特征D4有互相平行的两个面，且两个面之间的连线相互平行的几何体叫棱柱。底面、侧棱特征D5至少有两个面互相平行，由多个四边形组成，且相邻的边互相平行。底面、侧面、侧棱特征D6上下有两个平行并相等的多边形，并由相对不平行的线段将上下各点平行相连的柱体。动态生成D7由一个多边形向一个固定的方向，扫过所形成的空间几何立体图形。动态生成案例5棱柱的概念学生用斜棱柱拼接形成D2的一个反例[D2：两个底面是平行且相等的多边形，侧面是平行四边形。]棱柱定义的不断完善D2的反例案例5棱柱的概念D2的历史相似性《几何原本》卷11之棱柱定义一个棱柱是一个立体图形，它是有一些平面构成的，其中有两个面是相对的、相等的、相似且平行的，其他各面都是平行四边形。[PPT展示欧几里得的画像与《几何原本》中的棱柱定义。案例5棱柱的概念[教师用8个菱形、4个正方形磁力片现场拼出这个反例，如图4。]案例5棱柱的概念案例6三角形中位线定理问题1：如何将三角形土地四等分？（背景故事：古代巴比伦四兄弟分土地问题。）分割方案之一分割方案之二分割方案之三案例6三角形中位线定理中位线定义分割方案之三问题2：将方案三中的四个三角形剪下来放到一起，发现它们是重合的。据此，你能发现中位线与底边有怎样的大小关系和位置关系？案例6三角形中位线定理S1的证法问题3：如何证明三角形中位线与底边的大小关系和位置关系？FEDCBA案例6三角形中位线定理问题3：如何证明三角形中位线与底边的大小关系和位置关系？S2的证法HGABCDEF案例6三角形中位线定理问题3：如何证明三角形中位线与底边的大小关系和位置关系？S3的证法HGABCDEF案例6三角形中位线定理问题3：如何证明三角形中位线与底边的大小关系和位置关系？S4的证法HFEDCBAG案例6三角形中位线定理视频：三角形中位线定理的历史EDCBA欧几里得与中位线定理案例6三角形中位线定理问题4：为什么分割方案3中的四个三角形两两全等？分割方案之三案例6三角形中位线定理问题5：你觉得哪一种分割方案最好？分割方案之一分割方案之二分割方案之三案例6三角形中位线定理•中位线与三角形面积公式•中位线定理与平行线分线段成比例定理•基于数学史，重构三角形中位线定理的探究过程•转化思想的历史相似性•学生可以超越古人•中位线定理的发现•中位线定理的证明专门内容知识内容与学生知识水平内容知识内容与教学知识案例7函数的概念函数概念的历史总之有自变量、因变量且一个x有且仅有一个y的值与其对应的式子案例7函数的概念问题1：初中数学中的函数是怎么定义的？L.Euler(1707–1783)案例7函数的概念欧拉的函数定义(1748)：一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何方式组成的解析式。——《无穷分析引论》德摩根《代数学》的定义(1837)：A.deMorgan(1806-1871)案例7函数的概念Anyexpressionwhichcontainsxinanywayiscalledafunctionofx.李善兰的译文：“凡式中含天，为天之函数。”这便是中文“函数”名称的由来。案例7函数的概念案例7函数的概念问题2：下图为某天沪深300指数随时刻变化的图像。该图像体现了指数和时刻之间的关系，那么这两个变量之间的关系能否用一个解析式来刻画呢？如果某个量依赖于另一个量，当后面这个量变化时，前面这个量也随之变化，则前面这个量称为后面这个量的函数。——《微分学基础》L.Euler(1707–1783)案例7函数的概念欧拉的新定义（1755）：课前的问卷调查表明：161人中有65人认为它不是函数关系，占比40.37%。理由是：y不随x的变化而变化；没有y与x的关系式；x与y之间没有关系；y没有依赖x的变化而改变，…………………………是60%否40%案例7函数的概念问题2：y=0(xR)是不是一个函数？说明理由。狄利克雷的现代定义（1837）：设a、b是两个确定的值，x是可取a、b之间一切值的变量。如果对于每一个x，有唯一有限的y值与它对应,当x连续变化时，y也随之变化那么y叫做x的函数。L.Dirichlet（1805-1859）案例7函数的概念案例7函数的概念案例8和角公式1αcosαsinα1βcosβsinβ1αcosαsinα1βcosβsinβ问题：你能用下面两对直角三角形拼成一个长方形吗？案例8和角公式1111βααβsinαcosαcosβsinβcosαcosβ-cosαsinβsinαcosβsinα-sinβ方案1：菱形模型sinsincoscossin案例8和角公式sinsincoscossinαβsinαsinβcosαcosβsinαsinβcosβcosαcosαcosβsinβsinαcosβcosαsinβsinαβα方案2：矩形模型案例8和角公式cosαcosβsinβsinαcosβcosαsinβsinαβαβsinαsinβcosαcosβsinαsinβcosβcosαcosαcosβsinβcosβcosαsinαβsinαsinβcosβcosα数学史融入高数学教学：材料、原则、方式与价值结语数学史料•人物事件•概念术语•数学问题•公式定理•学科思想•工具符号选材原则•趣味性•可学性•科学性•有效性•新颖性运用方式•附加式•复制式•顺应式•重构式效果评价•知识之谐•方法之美•探究之乐•能力之助•文化之魅•德育之效结语HPM数学史一般内容知识专门内容知识内容