高考数学复习 函数的奇偶性与周期性

主页一轮复习讲义函数的奇偶性与周期性主页1．奇、偶函数的概念一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A，都有，那么称函数y＝f(x)是偶函数．如果对于任意的x∈A，都有，那么称函数y＝f(x)是奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性．(2)在公共定义域内，忆一忆知识要点f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)相同相反①两个奇函数的和是，两个奇函数的积是偶函数；奇函数要点梳理主页②两个偶函数的和、积都是；③一个奇函数，一个偶函数的积是．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．4．对称性若函数f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于直线x＝a对称．忆一忆知识要点偶函数奇函数要点梳理主页[难点正本疑点清源]1．函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)＝－f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)．其中包含两个必备条件：①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地解决问题；②判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．主页2．函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．(3)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0.f(0)＝0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件．(4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”．(5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．(6)既奇又偶的函数有无穷多个(如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集)．主页例1判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝9－x2＋x2－9；(2)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；(3)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.函数奇偶性的判断确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．主页解(1)由9－x2≥0x2－9≥0，得x＝±3.∴f(x)的定义域为{－3,3}．又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．(2)由1－x1＋x≥01＋x≠0，得－1x≤1.∵f(x)的定义域(－1,1]不关于原点对称．∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．主页(3)由4－x2≥0|x＋3|－3≠0，得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．∴f(x)＝4－x2(x＋3)－3＝4－x2x.∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)是奇函数．主页例2定义在(－1,1)上的函数f(x)．(ⅰ)对任意x，y∈(－1,1)都有：f(x)＋f(y)＝fx＋y1＋xy；(ⅱ)当x∈(－∞，0)时，f(x)0，回答下列问题．(1)判断f(x)在(－1,1)上的奇偶性，并说明理由；(2)判断函数f(x)在(0,1)上的单调性，并说明理由；(3)若f15＝12，试求f12－f111－f119的值．函数的单调性与奇偶性利用函数奇偶性、单调性的定义判断．根据条件，恰当赋值，变换出符合定义的条件．主页解(1)令x＝y＝0⇒f(0)＝0，令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝0⇒f(－x)＝－f(x)⇒f(x)在(－1,1)上是奇函数．(2)设0x1x21，则f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝fx1－x21－x1x2，而x1－x20,0x1x21⇒x1－x21－x1x20⇒fx1－x21－x1x20，即当0x1x21时，f(x1)f(x2)，∴f(x)在(0,1)上单调递减．主页(3)由于f12－f15＝f12＋f－15＝f12－151－12×5＝f13，同理，f13－f111＝f14，f14－f119＝f15，∴f12－f111－f119＝2f15＝2×12＝1.主页对于抽象函数单调性和奇偶性的判断一般要紧扣定义．通过赋值要出现：f(x1)－f(x2)与0的大小关系，f(x)与f(－x)的关系．就本题来讲要注意运用x0时f(x)0的条件．探究提高主页函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f[x(x－12)]0的解集．变式训练2解∵y＝f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，∴y＝f(x)在(－∞，0)上也是增函数，且由f(1)＝0得f(－1)＝0.若f[x(x－12)]0＝f(1)，则x(x－12)0x(x－12)1，即0x(x－12)1，解得12x1＋174或1－174x0.主页若f[x(x－12)]0＝f(－1)，则x(x－12)0x(x－12)－1由x(x－12)－1，解得x∈∅.∴原不等式的解集是{x|12x1＋174或1－174x0}．主页例3设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．函数的奇偶性与周期性(1)只需证明f(x＋T)＝f(x)，即可说明f(x)是周期函数；(2)由f(x)在[0,2]上的解析式求得f(x)在[－2,0]的解析式，进而求f(x)在[2,4]上的解析式；(3)由周期性求和．主页(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)解∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．主页(3)解∵f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝0.判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．探究提高主页已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－1f(x)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________.变式训练3解析由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－1f(x＋2)＝－1－1f(x)＝f(x)．故函数的周期为4.∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)．∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.∴f(105.5)＝2.5.2.5主页(16分)函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D.有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．等价转换要规答题规范主页学生解答展示主页(1)从f(1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x1＝x2＝1.(2)判断f(x)的奇偶性，就是研究f(x)、f(－x)的关系．从而想到赋值x1＝－1，x2＝x.即f(－x)＝f(－1)＋f(x)．(3)就是要出现f(M)f(N)的形式，再结合单调性转化为MN或MN的形式求解．审题视角主页规范解答解(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.[2分](2)f(x)为偶函数，证明如下：令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．[8分](3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3.[10分]主页由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，变形为f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．(*)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．∴不等式(*)等价于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)．[12分]又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴|(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.解得－73≤x－13或－13x3或3x≤5.∴x的取值范围是{x|－73≤x－13或－13x3或3x≤5}．[16分]主页批阅笔记数学解题的过程就是一个转换的过程．解题质量的高低，取决于每步等价转换的规范程度．如果每一步等价转换都是正确的、规范的，那么这个解题过程就一定是规范的．等价转化要做到规范，应注意以下几点：(1)要有明确的语言表示．如“M”等价于“N”，“M”变形为“N”．(2)要写明转化的条件．如本例中：∵f(x)为偶函数，∴不等式(*)等价于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)．(3)转化的结果要等价．如本例：由于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)⇒|(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.若漏掉(3x＋1)(2x－6)≠0，则这个转化就不等价了．主页1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔f(－x)f(x)＝±1(f(x)≠0)．3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性方法与技巧主页1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)．对于偶函数的判断以此类推．3．分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定