高考数学复习 二次函数

主页一轮复习讲义幂函数与二次函数主页1．二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．(2)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．忆一忆知识要点要点梳理主页忆一忆知识要点①对称轴:②顶点:24(,)24bacbaa2bxa24[,)4acbya24(,]4acbya(,]2bxa时递减[,)2bxa时递增(,]2bxa时递增，(,]2ba时递减2.二次函数的图象与性质图象函数性质定义域x∈R(个别题目有限制的,由解析式确定)值域a0a0奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数单调性a0a0图象特点要点梳理主页3.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝b2－4ac0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|＝|x1－x2|＝Δ|a|.忆一忆知识要点要点梳理主页主页主页[难点正本疑点清源]1．求二次函数解析式的方法：待定系数法．根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求．①已知三个点的坐标时，宜用一般式．②已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式．③已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便．主页2．二次函数对应的一元二次方程的区间根的分布讨论二次函数相应的二次方程的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．在讨论过程中，注意应用数形结合的思想．主页例1已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数．确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用．求二次函数的解析式解方法一设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意有4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解之，得a＝－4，b＝4，c＝7，∴所求二次函数为y＝－4x2＋4x＋7.主页方法二设f(x)＝a(x－m)2＋n，a≠0.∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝2＋(－1)2＝12.∴m＝12.又根据题意函数有最大值为n＝8，∴y＝f(x)＝ax－122＋8.∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1，解之，得a＝－4.∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.主页方法三依题意知：f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，a≠0.即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值ymax＝8，即4a(－2a－1)－a24a＝8，解之，得a＝－4或a＝0(舍去)．∴函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.主页二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．已知函数的类型(模型)，求其解析式，用待定系数法，根据题设恰当选用二次函数解析式的形式，可使解法简捷．探究提高主页设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x，当x2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图；(3)写出函数f(x)的值域．变式训练1主页解(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可得a＝－2，∴y＝－2(x－3)2＋4，即x2时，f(x)＝－2x2＋12x－14.当x－2时，即－x2.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14，即f(x)＝－2x2－12x－14.∴函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为f(x)＝－2x2－12x－14.主页(2)函数f(x)的图象如图：(3)由图象可知，函数f(x)的值域为(－∞，4]．主页例2已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．二次函数的图象与性质对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．主页解(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，,单调递减区间是[－6,0]．],0,6[,32],6,0(,32)(22xxxxxxxf且主页(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．探究提高主页已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a的值．变式训练2解f(x)＝－4x－a22－4a，对称轴为x＝a2，顶点为a2，－4a.①当a2≥1，即a≥2时，f(x)在区间[0,1]上递增．∴ymax＝f(1)＝－4－a2.令－4－a2＝－5，∴a＝±12(舍去)．②当0a21，即0a2时，ymax＝fa2＝－4a，令－4a＝－5，∴a＝54∈(0,2)．主页③当a2≤0，即a≤0时，f(x)在区间[0,1]上递减，此时f(x)max＝f(0)＝－4a－a2.令－4a－a2＝－5，即a2＋4a－5＝0，∴a＝－5或a＝1(舍去)．综上所述，a＝54或a＝－5.主页例3若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．二次函数的综合应用由f(0)＝1可得c，利用f(x＋1)－f(x)＝2x恒成立，可求出a，b，进而确定f(x)的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得．主页解(1)由f(0)＝1得，c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，∴2a＝2，a＋b＝0，∴a＝1，b＝－1.因此，f(x)＝x2－x＋1.(2)f(x)2x＋m等价于x2－x＋12x＋m，即x2－3x＋1－m0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－10得，m－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．主页二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．探究提高主页已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．变式训练3解(1)∵f(x)＝x2＋mx＋n，∴f(－1＋x)＝(－1＋x)2＋m(－1＋x)＋n＝x2－2x＋1＋mx＋n－m＝x2＋(m－2)x＋n－m＋1，f(－1－x)＝(－1－x)2＋m(－1－x)＋n＝x2＋2x＋1－mx－m＋n＝x2＋(2－m)x＋n－m＋1.主页又f(－1＋x)＝f(－1－x)，∴m－2＝2－m，即m＝2.又f(x)的图象过点(1,3)，∴3＝12＋m＋n，即m＋n＝2，∴n＝0，∴f(x)＝x2＋2x，又y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称，∴－g(x)＝(－x)2＋2×(－x)，∴g(x)＝－x2＋2x.主页(2)∵F(x)＝g(x)－λf(x)＝－(1＋λ)x2＋(2－2λ)x，当λ＋1≠0时，F(x)的对称轴为x＝2－2λ2(1＋λ)＝1－λλ＋1，又∵F(x)在(－1,1]上是增函数．∴1＋λ01－λ1＋λ≤－1或1＋λ01－λ1＋λ≥1.∴λ－1或－1λ≤0.当λ＋1＝0，即λ＝－1时，F(x)＝4x显然在(－1,1]上是增函数．综上所述，λ的取值范围为(－∞，0]．主页(16分)设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|.(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；(3)设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．思想与方法分类讨论在二次函数中的应用主页(1)求a的取值范围，是寻求关于a的不等式，解不等式即可．(2)求f(x)的最小值，由于f(x)可化为分段函数，分段函数的最值分段求，然后综合在一起．(3)对a讨论时，要找到恰当的分类标准．审题视角主页规范解答解(1)因为f(0)＝－a|－a|≥1，所以－a0，即a0，由a2≥1知a≤－1，因此，a的取值范围为(－∞，－1]．[3分](2)记f(x)的最小值为g(a)，则有f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|＝3x－a32＋2a23，xa①(x＋a)2－2a2，x≤a②[5分](ⅰ)当a≥0时，f(－a)＝－2a2，由①②知f(x)≥－2a2，此时g(a)＝－2a2.[7分](ⅱ)当a0时，fa3＝23a2，若xa，则由①知f(x)≥23a2.主页若x≤a，由②知f(x)≥2a223a2.此时g(a)＝23a2，综上，得g(a)＝－2a2，a≥02a23，a0.[10分](3)(ⅰ)当a∈－∞，－62∪22，＋∞时，解集为(a，＋∞)；(ⅱ)当a∈－22，22时，解集为a＋3－2a23，＋∞；(ⅲ)当a∈－62，－22时，解集为a，a－3－2a23∪a＋3－2a23，＋∞.[16分]主页批阅笔记分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一．本题充分体现了分类讨论的思想方法．在解答本题时有两点容易造成失分：一是求实数a的值时，讨论的过程中没注意a自身的取值范围，易出错；二是求函数最值时，分类讨论的结果不能写在一起，不能得出最后的结论．除此外，解决函数问题时，以下几点容易造成失分：1．含绝对值问题，去绝对值符号，易出现计算错误；2．分段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，没有比较大小或不会比较出