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一、选填题选填题(七)第二部分刷题型一、单项选择题1.若复数z=(x2+x-2)+(x+2)i为纯虚数,则实数x=()A.1B.-2C.1或-2D.-1或2解析由已知得x2+x-2=0,x+2≠0,解得x=1.答案解析2.设U=A∪B,A={1,2,3,4,5},B={10以内的素数},则∁U(A∩B)=()A.{2,4,7}B.∅C.{4,7}D.{1,4,7}解析∵B={2,3,5,7},∴A∩B={2,3,5},A∪B={1,2,3,4,5,7},则∁U(A∩B)={1,4,7}.故选D.答案解析3.(2020·山东临沂一模)若a∈R,则“|a|1”是“a31”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析当|a|1时,取a=-2,则a3=-81,故充分性不成立;当a31时,根据幂函数y=x3的单调性得到a1,故|a|1,必要性成立.故选B.答案解析4.(2020·山东潍坊高密一模)若sinθ=5cos(2π-θ),则tan2θ=()A.-53B.53C.-52D.52解析∵sinθ=5cos(2π-θ),∴sinθ=5cosθ,得tanθ=5,∴tan2θ=2tanθ1-tan2θ=251-52=-52.故选C.答案解析5.(2020·山西太原模拟一)函数f(x)=x2-1|x|的图象大致为()答案解析由题意,函数f(x)=x2-1|x|,可得f(-x)=-x2-1|-x|=x2-1|x|=f(x),即f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,图象关于y对称,排除B,C;当x0时,f(x)=x2-1x=x-1x,则f′(x)=1+1x2>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,排除A.故选D.解析6.(2020·山东青岛一模)某单位举行诗词大会比赛,给每位参赛者设计了“保留题型”“升级题型”“创新题型”三类题型,每类题型均指定一道题让参赛者回答.已知某位参赛者答对每道题的概率均为45,且各次答对与否相互独立,则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率是()A.112125B.80125C.113125D.124125解析该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率P=453+C2345215=112125.故选A.答案解析7.(2020·陕西西安中学下学期仿真考试一)在△ABC中,已知D是BC延长线上一点.点E为线段AD的中点.若BC→=2CD→,且AE→=λAB→+34AC→,则λ=()A.-14B.14C.-13D.13答案解析∵AE→=12AD→,AD→=BD→-BA→,BC→=BA→+AC→,BD→=32BC→,∴AE→=12AD→=12(BD→-BA→)=12BD→+12AB→=34BC→+12AB→=34(BA→+AC→)+12AB→=-34AB→+34AC→+12AB→=-14AB→+34AC→.∵AE→=λAB→+34AC→,∴λ=-14.故选A.解析8.(2020·山东日照二模)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=π3,记椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则1e21+3e22的值为()A.1B.2512C.4D.16答案解析如图,设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的半实轴长为a2,则根据椭圆及双曲线的定义|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2,∴|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2,设|F1F2|=2c,∠F1PF2=π3,则在△PF1F2中,由余弦定理,得4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cosπ3,∴化简a21+3a22=4c2,得1e21+3e22=4,故选C.解析二、多项选择题9.(2020·山东德州一模)某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查,随机抽取了100名学生,他们的身高都处在A,B,C,D,E五个层次内,根据抽样结果得到统计图表,则下面叙述正确的是()A.样本中女生人数多于男生人数B.样本中B层人数最多C.样本中E层次男生人数为6D.样本中D层次男生人数多于女生人数答案解析样本中女生人数为9+24+15+9+3=60,男生人数为100-60=40,A正确;样本中A层人数为9+40×10%=13,样本中B层人数为24+40×30%=36,样本中C层人数为15+40×25%=25,样本中D层人数为9+40×20%=17,样本中E层人数为3+40×15%=9,故B正确;样本中E层次男生人数为40×15%=6,C正确;样本中D层次男生人数为40×20%=8,女生人数为9,D错误.故选ABC.解析10.等差数列{an}是递增数列,满足a7=3a5,前n项和为Sn,下列选择项正确的是()A.d0B.a10C.当n=5时,Sn最小D.Sn0时,n的最小值为8解析设等差数列{an}的公差为d,由a7=3a5,可得a1+6d=3(a1+4d),解得a1=-3d,又由等差数列{an}是递增数列,可知d0,则a10,故A,B正确;因为Sn=d2n2+a1-d2n=d2n2-7d2n,由n=--7d2d=72可知,当n=3或4时Sn最小,故C错误;令Sn=d2n2-7d2n0,解得n0或n7,即Sn0时n的最小值为8,故D正确.故选ABD.答案解析11.(2020·山东潍坊高密二模)过抛物线C:y2=8x的焦点F且斜率为3的直线l与抛物线交于P,Q两点(P在第一象限),以PF,QF为直径的圆分别与y轴相切于A,B两点,则下列结论正确的是()A.抛物线C:y2=8x的焦点F坐标为(2,0)B.|PQ|=323C.M为抛物线C上的动点,N(2,1),则(|MF|+|MN|)min=6D.|AB|=833答案解析由题意可得抛物线的焦点F(2,0),所以A正确;由题意设直线PQ的方程为y=3(x-2),与抛物线的方程联立整理可得3x2-20x+12=0,解得x=23或6,代入直线PQ的方程可得y分别为-433,43,由题意可得P(6,43),Q23,-433,所以|PQ|=6+23+4=323,所以B正确;如图,M在抛物线上,ME垂直准线于E,可得|MF|=|ME|,所以|MF|+|MN|=|ME|+|MN|≥|NE|=2+2=4,当N,M,E三点共线时,|MF|+|MN|最小,且最小值为4,所以C不正确;解析因为P(6,43),Q23,-433,所以PF,QF的中点的坐标分别为(4,23),43,-233,所以由题意可得A(0,23),B0,-233,所以|AB|=23+233=833,所以D正确.故选ABD.解析12.(2020·山东枣庄二调)对∀x∈R,[x]表示不超过x的最大整数.十八世纪,y=[x]被“数学王子”高斯采用,因此得名为高斯函数,人们更习惯称为“取整函数”,则下列命题中的真命题是()A.∃x∈R,x≥[x]+1B.∀x,y∈R,[x]+[y]≤[x+y]C.函数y=x-[x](x∈R)的值域为[0,1)D.若∃t∈R,使得[t3]=1,[t4]=2,[t5]=3,…,[tn]=n-2同时成立,则正整数n的最大值是5答案解析[x]是整数,若x≥[x]+1,[x]+1是整数,∴[x]≥[x]+1,矛盾,∴A错误;∀x,y∈R,[x]≤x,[y]≤y,∴[x]+[y]≤x+y,∴[x]+[y]≤[x+y],B正确;由定义知x-1[x]≤x,∴0≤x-[x]1,∴函数y=x-[x](x∈R)的值域是[0,1),C正确;若∃t∈R,使得[t3]=1,[t4]=2,[t5]=3,…,[tn]=n-2同时成立,则1≤t32,42≤t43,53≤t54,64≤t65,…,nn-2≤tnn-1,∵64=32,若n≥6,则不存在t同时满足1≤t32,64≤t65.只有n≤5时,存在t∈[53,32)满足题意,D正确.故选BCD.解析答案1三、填空题13.(2020·江西高三6月大联考)已知函数f(x)=log2(x+1)+3,若f(a+2)=5,则a=________.解析由题意可得f(a+2)=log2(a+3)+3=5,解得a=1.答案解析答案12014.(2020·山东日照二模)某学校在3名男教师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,要求男、女教师各至少一名,则不同的选取方式的种数为________(结果用数值表示).解析在3名男教师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,总的方法为C59,选择全都是女教师的情况为C56,所以男、女教师各至少一名的选取种数为C59-C56=9!5!9-5!-6!5!6-5!=9×8×7×64×3×2×1-6=120种.答案解析答案[25π,32π]15.(2020·山东枣庄二调)三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AA1=4,△ABC是边长为23的正三角形,D1是线段B1C1的中点,点D是线段A1D1上的动点,则三棱锥D-ABC外接球的表面积的取值集合为____________(用区间表示).答案解析如图,设M,N分别是正三棱柱下底面和上底面中心,则三棱锥D-ABC的外接球球心O在MN上,由AB=23得CM=2,MN=AA1=4,设球半径为R,DN=x,则0≤x≤2,由OD2-DN2+OC2-CM2=MN得R2-x2+R2-4=4,解得R2=x2+12264+4,∵0≤x≤2,∴x=0时,R2min=254,x=2时,R2max=8,∴Smin=4π×254=25π,Smax=4π×8=32π,故答案为[25π,32π].解析16.(2020·呼和浩特模拟)如图,某湿地为拓展旅游业务,现准备在湿地内建造一个观景台P,已知射线AB,AC为湿地两边夹角为120°的公路(长度均超过2千米),在两条公路AB,AC上分别设立游客接送点M,N,且AM=AN=2千米,若要求观景台P与两接送点所成角∠MPN与∠BAC相等,记∠PMA=α,观景台P到M,N建造的两条观光线路PM与PN之和记为y,则把y表示为α的函数为y=____________________________;当两台观光线路之和最长时,观景台P到A点的距离PA=________千米.4sin(α+30°),其中30°α90°2解析由余弦定理可得MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos120°=4+4-2×2×2×-12=12,则MN=23,∵∠MPN=∠BAC=120°,∠PMA=α,∴∠ANM=∠AMN=30°,∴∠PMN=α-30°,∴∠PNM=90°-α,由正弦定理可得PMsin90°-α=PNsinα-30°=MNsin120°=4,∴PM=4sin(90°-α)=4cosα,PN=4sin(α-30°)=23sinα-2cosα,∴y=PM+PN=4cosα+23sinα-2cosα=23sinα+2cosα=4sin(α+30°),其中30°α90°,∴60°α+30°120°,∴32sin(α+30°)≤1,∴当α=60°时,此时PM+PN的长度最长,此时PM=PN=2,∴PA=2.解析本课结束
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