高考数学复习-柱体_锥体_台体的表面积和体积

北京奥运会场馆图38.9亿赫尔佐格德梅隆“鸟巢(nest)”30亿瞧，这么宏伟壮观的金字塔呀！——你们能求出它的表面积和体积吗？想知道吧？让我们一起来学习今天的内容吧！看，这是不复存在的世贸大厦1.柱体的表面积正方体、长方体的表面积就是各个面的面积之和。棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形、梯形的面积问题。侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形棱柱:侧面展开图是由三角形组成的平面图形棱锥:侧面展开图是由梯形组成的平面图形棱台:怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面积？一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和表面积=侧面积+底面积例1已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积．D分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成,因此只要求…..．因为SB=a，aSBSD2360sin所以：243232121aaaSDBCSABC因此，四面体S-ABC的表面积是．交BC于点D．解：先求的面积，过点S作SBCBCSD典型例题BCASa2a3练习1：一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台的侧面积.分析：关键是求出斜高，注意图中的直角梯形ABCC1A1B1O1ODD1E圆柱的展开图：如果圆柱的底面半径为，母线为，那么圆柱的底面积为，侧面积为。因此圆柱的表面积为rl2rrl2)(lrrrlrS22222.圆柱、圆锥、圆台的表面积是一个矩形O`O圆锥的展开图：如果圆柱的底面半径为，母线为，那么它的表面积为rl)(lrrrlrS2是一个扇形r2SO圆台的展开图：)('22'rllrrrSr2是一个扇环它的表面积等于上、下两个底面和加上侧面的面积，即O`O`2r例2如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（取3.14，结果精确到1）？2cmcm15cm20cm15解：由圆台的表面积公式得花盆的表面积：2225.11522015215215S)(9992cm答：花盆的表面积约是999．2cm典型例题练习2：圆台的上、下底面半径分别为2和4，高为，求其侧面展开图扇环所对的圆心角。32分析：抓住相似三角形中的相似比是解题的关键小结：1、抓住侧面展开图的形状，用好相应的计算公式，注意逆向用公式；2、圆台问题恢复成圆锥图形在圆锥中解决圆台问题，注意相似比.答：1800我国古代著名数学家祖冲之在计算圆周率等问题方面有光辉的成就。祖冲之的儿子祖暅也在数学上有突出贡献。祖暅在实践的基础上，于5世纪末提出了这个体积计算原理。祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年。在欧洲知道17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri.B，1598年~1647年）提出上述结论（429年~500年）柱体,锥体,台体的体积夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．问题：两个底面积相等、高也相等的柱体的体积如何？h棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积．hV柱体=sh经探究得知，棱锥(圆锥)是同底等高的棱柱(圆柱)的，即棱锥(圆锥)的体积：31（其中S为底面面积，h为高）13VSh由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的．13'Sxhsshxx'''ssshxxSxhSV'31)31（台''')(3131ssshSSSh'')(3131shssSh)(31''sssshS柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？''1()3VSSSSh上底扩大VSh'SS'0S上底缩小13VSh正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可以统一为：V=Sh（S为底面面积，h为高）一般棱柱的体积公式也是V=Sh，其中S为底面面积，h为高。棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系？圆台(棱台)的体积公式：其是S、，S分别为上底面面积，h为圆台（棱台）高。棱锥的体积公式也是，其中S为底面面积，h为高。即它是同底同高的圆柱的体积的。ShS3131hSSSSV)(31``?)14.3(,10,10,12,,8.5)()/8.7(33取大约有多少个问这堆螺帽高为内孔直径边长为已知底面是正六边形共重如下图六角螺帽铁的密度是有一堆规格相同的铁制例mmmmmmkgcmg12mm12mm12mm12mm10mm10mm解：六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差.V正六棱柱=1.732×122×6×10≈3.74×103(mm3)V圆柱=3.14×52×10≈0.785×103(mm3)毛坯的体积V=3.74×103-0.785×103≈2.96×103(mm3)=2.96(cm3)∴5.8×103÷(7.8×2.96)≈2.5×102(个)答:这堆毛坯约有250个。1、如图，三棱锥的顶点为P,PA、PB、PC为三条侧棱，且PA、PB、PC两两互相垂直，又PA=2,PB=3,PC=4，求三棱锥P-ABC的体积VPCABV=4注意：等积法的应用一.棱柱的侧面积、表面积与体积1.直棱柱的侧面积、表面积与体积S侧=C•hS表=S侧+2S底二.棱锥的侧面积、表面积与体积S表=S侧+S底S侧=S△1+S△2+S△3+…三.棱台的侧面积、表面积与体积S表=S侧+S上底+S下底S侧=S梯形1+S梯形2+S梯形3+…V棱柱=S•hV棱锥=S•h13''1()3VSSSSh棱台＝小结四.圆柱的侧面积、表面积与体积S侧=2rLS表=2r(r+L)五.圆锥的侧面积、表面积与体积S表=r(r+L)S侧=rL六.圆台的侧面积、表面积与体积S表=(r’2+r2+r’L+rL)S侧=(r’+r)LV圆柱=r2h2''21()3Vrrrrh圆台＝V圆锥=r2h31练习3：P271、2作业：P295训练5和预习P271.3.2节