高考数学复习 第3讲 与数列交汇的综合问题课件

高考真题自测热点考向突破第3讲与数列交汇的综合问题体验高考1.(2012年高考北京卷,文8)某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高,m值为(C)(A)5(B)7(C)9(D)11高考真题自测—夯基础提速度解析:依题意mSm表示前m年平均产量,又nSn表示图象上的点(n,Sn)与原点连线的斜率,由题中图象可知,当n=9时,nSn最大,∴m=9.故选C.2.(2012年高考四川卷,文12)设函数f(x)=(x-3)3+x-1,{an}是公差不为0的等差数列,f(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14,则a1+a2+…+a7等于(D)(A)0(B)7(C)14(D)21解析:依题意f(x)=(x-3)3+(x-3)+2,令g(x)=x3+x,则g(x)是x∈R上的奇函数且是单调递增函数,{an}公差不为0.g(x)=f(x+3)-2,则f(x+3)=g(x)+2,又f(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14,即g(a1-3)+2+g(a2-3)+2+…+g(a7-3)+2=14,即g(a1-3)+g(a2-3)+…+g(a7-3)=0.∴a1-3+a2-3+…+a7-3=0,∴a1+a2+…+a7=21.故选D.3.(2012年高考湖北卷,文7)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:①f(x)=x2;②f(x)=2x;③f(x)=||x;④f(x)=ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为(C)(A)①②(B)③④(C)①③(D)②④解析:不妨令an=2n.①因为f(x)=x2,所以f(an)=4n.显然{f(2n)}是首项为4,公比为4的等比数列.②因为f(x)=2x,所以f(a1)=f(2)=22,f(a2)=f(4)=24,f(a3)=f(8)=28,所以12afaf=2422=4≠23afaf=4822=16,所以{f(an)}不是等比数列.③因为f(x)=||x,所以f(an)=n2=(2)n.显然{f(an)}是首项为2,公比为2的等比数列.④因为f(x)=ln|x|,所以f(an)=ln2n=nln2.显然{f(an)}是首项为ln2,公差为ln2的等差数列.故选C.4.(2012年高考江苏卷,6)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,-3为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是.解析:这10个数分别为1,-3,9,-27,81,…,(-3)8,(-3)9,小于8的数有6个,所以P(小于8)=106=53.答案:53感悟备考1.命题与备考数列是高中数学的重要内容,也是高考的热点.数列与函数、方程、不等式的综合,以函数、方程的有关知识为背景给出数列,解决数列中的大小比较、不等式的证明等问题;数列中的综合探索性题目,以等差数列、等比数列中的基本运算为背景,探究满足条件的参数的取值范围或者参数的存在性问题;数列应用题多以现实生活中的“增长率”、“贷款”等问题为背景,需要综合运用数列的知识来解决问题.在复习备考中,一要熟练把握等差数列和等比数列中的基本运算,这是解决数列综合问题的基础;二要解决数列与函数、方程、三角、不等式、解析几何等知识相互联系在一起的综合性比较强的题目,必须对隐藏在其中的函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想有所把握,深刻领悟它们在解题中的作用;三要平时练习时应注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法,学会用它解决一些实际问题.2.小题快做特例法就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理,利用问题在某一特殊情况下不真,则它在一般情况下也不真的原理,判断选项的真假.用特例法解选择题、填空题时,特例选取得愈简单、愈特殊愈好.考向一数列、函数、方程的综合1.热点内容数列与函数、方程的综合问题一般与函数的图象及性质、方程的解、数列中的基本运算等相联系,解决此类问题首先要实现三个方向的转化:(1)函数条件的转化,直接利用函数与数列的对应关系,把函数解析式中的自变量x换为n即可;(2)方程条件的转化,一般要根据方程解的有关条件进行转化;(3)数列向函数的转化,可将数列的问题转化为函数的相应问题求解,但要注意自变量取值范围的限制.热点考向突破—讲策略促迁移2.问题引领(1)数列是一类怎样的特殊函数?(2)数列中的最值、范围等问题如何求解?答案:(1)数列的定义域是正整数集N*或其子集.(2)可转化为相应函数的单调性或利用方程有解的条件来求解.【例1】已知函数f(x)=ax2+bx(a≠0)的导函数f'(x)=-2x+7,数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(n,Sn)(n∈N*)在函数y=f(x)的图象上.(1)求数列{an}的通项公式及Sn的最大值;(2)令bn=na2,其中n∈N*,求数列{nbn}的前n项和.解:(1)∵f(x)=ax2+bx(a≠0),∴f'(x)=2ax+b,又∵f'(x)=-2x+7,得a=-1,b=7,所以f(x)=-x2+7x.又因为点Pn(n,Sn)(n∈N*)在函数y=f(x)的图象上,所以有Sn=-n2+7n,当n=1时,a1=S1=6,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n+8,又n=1时符合上式,∴an=-2n+8(n∈N*).令an=-2n+8≥0,得n≤4,∴当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.(2)由题意得b1=62=8,bn=822n=2-n+4.所以nnbb1=21,即数列{bn}是以8为首项,21为公比的等比数列,故数列{nbn}的前n项和Tn=1×23+2×22+…+n×2-n+4,①21Tn=1×22+2×2+…+(n-1)×2-n+4+n×2-n+3,②①-②得:21Tn=23+22+…+2-n+4-n×2-n+3,∴Tn=21121116n-n·24-n=32-(2+n)24-n(n∈N*).关注细节以函数为引入条件,考查数列与函数交叉的综合问题应注意从题目的众多条件和求解(待证)中提取相关信息,利用函数思想得出某个确定的数学关系,从而有效地解决问题.热点训练1例1的条件不变,令bn=11nnaa(n1,n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.解:bn=11nnaa=102821nn=41·541nn=41·4151nn∴Sn=b1+b2+…+bn=41415121313141nn=414141n=nn416(n∈N*).考向二数列、不等式、解析几何的综合【例2】如图所示,已知动圆与直线y=-3相切,并与定圆x2+y2=1相内切.(1)求动圆圆心的轨迹C;(2)过原点作斜率为1的直线交曲线C于P1(P1为第一象限点),又过P1作斜率为21的直线交曲线C于P2,再过P2作斜率为41的直线交曲线C于P3,…,如此继续下去,过Pn作斜率为n21的直线交曲线C于Pn+1,设Pn(xn,yn).①令bn=x2n+1-x2n-1,求证:数列{bn}是等比数列;②设数列{bn}的前n项和为Sn,试比较43Sn+1与1031n的大小.解:(1)由题意知,动圆圆心到原点的距离等于其到直线y=-2的距离,由抛物线定义知,所求轨迹是以坐标原点为焦点,直线y=-2为准线的抛物线,其轨迹方程为x2=4(y+1).(2)①证明:设Pn(xn,yn),Pn+1(xn+1,yn+1),则2nx=4(yn+1),21nx=4(yn+1+1).又∵直线PnPn+1的斜率为n21,∴nnnnxxyy11=n21.∴41·nnnnxxxx1212=n21,即xn+1+xn=221n,∴bn=x2n+1-x2n-1=(x2n+1+x2n)-(x2n+x2n-1)=2221n-3221n=-2221n(n∈N*).∴数列{bn}是以41为公比的等比数列.②解:由①知,bn=-2221n,∴Sn=-22221211n=-34n411.∴43Sn+1=n41.因此只要比较4n与3n+10的大小.构造辅助函数f(x)=4x-(3x+10)(x≥1),f'(x)=4xln4-3,∵x≥1,∴f'(x)0恒成立.∴f(x)在[1,+∞)上是增函数.f(1)=4-13=-90,f(2)=42-(2×3+10)=0,f(3)=43-19=450,∴当n=1时,43Sn+11031n,当n=2时,43Sn+1=1031n,当n≥3,n∈N*时,43Sn+11031n.热点训练2如图,从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y=ex于点Q1(0,1),曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2,依次重复上述过程得到一系列点:P1,Q1;P2,Q2;…;Pn,Qn,记Pk点的坐标为(xk,0)(k=1,2,…,n).(1)试求xk与xk-1的关系(2≤k≤n);(2)求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|.解:(1)设Pk-1(xk-1,0),由y'=ex得Qk-1(xk-1,1kxe)点处切线方程为y-1kxe=1kxe(x-xk-1),由y=0得xk=xk-1-1(2≤k≤n).(2)由x1=0,xk-xk-1=-1,得xk=-(k-1),所以|PkQk|=kxe=e-(k-1),于是Sn=|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|=1+e-1+e-2+…+e-(n-1)=1e1e1n=1eee1n.考向三培养探索意识的数列创新题——图表信息题“杨辉三角”型数列创新题是近几年高考创新题的热点,求解该类题目的关键是仔细观察各项与行列式的对应关系,转化为等差或等比数列.【例3】给出下面的数表序列:其中表n(n=1,2,3,…)有n行,第1行的n个数是1,3,5,…,2n-1,从第2行起,每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.(1)写出表4,验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明);(2)每个数表中最后一行都只有一个数,它们构成数列1,4,12,…,记此数列为{bn}.求和:213bbb+324bbb+…+12nnnbbb(n∈N*).解:(1)表4为13574812122032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32,它们构成首项为4,公比为2的等比数列.将这一结论推广到表n(n≥3),即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n,公比为2的等比数列.简证如下:(对考生不作要求)首先,表n(n≥3)的第1行的1,3,5,…,2n-1是等差数列,其平均数为nn1231=n;其次,若表n的第k(1≤k≤n-1)行a1,a2,…,an-k+1是等差数列,则它的第k+1行a1+a2,a2+a3,…,an-k+an-k+1也是等差数列.由等差数列的性质知,表n的第k行中的数的平均数与第k+1行中的数的平均数分别是211knaa,2121knknaaaa=a1+an-k+1.由此可知,表n(n≥3)各行中的数都成等差数列,且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n,公比为2的等比数列.(2)表n的第1行是1,3,5,…,2n-1,其平均数是nn12531=n(n∈N*).由(1)知,它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n,公比为2的等比数列(从而它的第k行中的数的平均数是n·2k-1),于是,表n中最后一行的唯一的数为bn=