高考卷：16年全国卷一数学

2016全国卷一数学满分:班级：_________姓名：_________考号：_________一、单选题（共12小题）1．设集合，，则（）A．B．C．D．2．设的实部与虚部相等，其中是实数，则（）A．-3B．-2C．2D．33．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．4．的内角的对边分别为，已知，则（）A．B．C．2D．35．直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．若将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为（）A．B．C．D．7．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径。若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．B．C．D．8．若，，则（）A．B．C．D．9．函数在的图像大致为（）A．B．C．D．10．执行下面的程序图，如果输入的，则输出的值满足（）A．B．C．D．11．平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．若函数在单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）13.设向量，且，则__________14.已知是第四象限角，且，则________15.设直线与圆相交于,两点，若，则圆C的面积为________。16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_________元三、解答题（共8小题）17.已知是公差为3的等差数列，数列满足，（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求的前项和。18.如图，已知正三棱锥的侧面是直角三角形，，顶点在平面内的正投影为点，点在平面内的正投影为点，连接并延长交于点（Ⅰ）证明：是的中点；（Ⅱ）在答题卡第（18）题图中作出点在平面的正投影（说明作法及理由），并求出四面体的体积.19.某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的易损零件数.（Ⅰ）若，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.5，求的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20.在直角坐标系中，直线交轴于点，交抛物线于点，关于点的对称点为，连结并延长交于点.（Ⅰ）求；（Ⅱ）除以外，直线与是否有其它的公共点？说明理由.21.已知函数。（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围。22.选修4-1：几何证明选讲如图，是等腰三角形，．以为圆心，为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线与⊙相切；（Ⅱ）点在⊙上，且四点共圆，证明：．23.选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．（Ⅰ）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求．24.选修4—5：不等式选讲已知函数。（I）在答题卡第（24）题图中画出的图像；（II）求不等式的解集。答案部分1.考点：集合的运算试题解析：，，则．答案：B2.考点：复数综合运算试题解析：，所以，解得．答案：A3.考点：排列组合综合应用试题解析：四种花选两种共有种，红色花和紫色花不在同一花坛种，另外两种同样不能在同一花坛，所以红色花和紫色花不在同一花坛共有种，概率为．答案：C4.考点：余弦定理试题解析：，，由余弦定理，，解得．答案：D5.考点：椭圆试题解析：设椭圆方程为，由题意直线斜率不为0，设直线方程为，到直线的距离为1，所以，整理得，，．答案：B6.考点：三角函数图像变换试题解析：的周期，个周期为，向右平移为故选D．答案：D7.考点：空间几何体的表面积与体积试题解析：由三视图可知，原几何体为一个球切去，如图所示，则，解得，球表面积为，去掉加上三个扇形面积：，故选A答案：A8.考点：对数与对数函数试题解析：取，，A不对；，B正确．答案：B9.考点：函数综合试题解析：当时，，，再求导，令，解得，所以在先增后减，趋近于0是，是，所以，在上先减后增，又为偶函数，故选D答案：D10.考点：算法和程序框图试题解析：满足．故选C答案：C11.考点：点线面的位置关系试题解析：，，则，，则，所以所成角为60°．故选A答案：A12.考点：利用导数研究函数的单调性试题解析：由题意函数在上增，则在上不小于0，即恒成立所以解得．故选C答案：C13.考点：数量积的应用试题解析：，则，即,解得，故填．答案：14.考点：恒等变换综合试题解析：，为第四象限角，所以，又，所以答案：15.考点：直线与圆的位置关系试题解析：圆方程可化为，圆心为，则圆心到直线的距离，所以由，解得，面积为．答案：16.考点：线性规划试题解析：设生产A产品件，B产品件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为目标函数作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为在处取得最大值，答案：21600017.考点：数列综合应用试题解析：（Ⅰ）由则所以（Ⅱ）由，得即，，所以是以为首项，为公比的等比数列设的前项和为则答案：见解析18.考点：立体几何综合试题解析：（Ⅰ）由为正三棱锥，所以为三角形的中心又为等边三角形为的中点（Ⅱ）过做交直线于，由正三棱锥各侧面为直角三角形为在面内的正投影，，，答案：见解析19.考点：概率综合试题解析：（Ⅰ）当时，当时，所以（Ⅱ），所以“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.5，则的最小值为19（Ⅲ）设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件的费用的总和为则，所需费用的平均数为4100设这设这100台机器在购机的同事每台都购买20个易损零件的费用的总和为，所需费用的平均数为405041004050所以购买1台机器的同时应购买20个易损零件．答案：见解析20.考点：圆锥曲线综合试题解析：（Ⅰ）直线与抛物线交于点，则，则直线的方程为：联立解得则（Ⅱ），直线方程为：联立消去整理得所以除以为，直线与抛物线无其他公共点．答案：见解析21.考点：导数的综合运用试题解析：（Ⅰ）当时，令解得令解得，所以在上为减函数；在上为增函数当时，令解得或当即时，在上为增函数；在上为减函数，在上为增函数当即时，在上为增函数当即时，在上为增函数；在上为减函数，在上为增函数综上所述当时，在上为减函数；在上为增函数；当时，在上为增函数；在上为减函数，在上为增函数当时，在上为增函数当时，在上为增函数；在上为减函数，在上为增函数（Ⅱ）由第一问当时，在上为减函数；在上为增函数；，函数有两个零点．当时，在上为增函数，不可能有两个零点；当或时，要使有两个零点则只有令上式化为易得方程无解当时，易得只有一个零点；综上所述，要使函数有两个零点，则答案：见解析22.考点：圆试题解析：（Ⅰ）证明：设中点为，连接则为等腰三角形且与圆相切．（Ⅱ）设中点为，四边形共圆则，共线同理共线四点共线答案：见解析23.考点：参数和普通方程互化极坐标方程试题解析：（Ⅰ）由（为参数）得（）所以曲线表示以为圆心，半径为的圆由得：因为，，所以所以的极坐标方程为（Ⅱ）由得因为，，所以所以曲线与曲线的公共弦所在的直线方程为，即由，其中满足得，所以，因为，所以答案：见解析24.考点：绝对值不等式试题解析：（Ⅰ）图象如图：（Ⅱ）当时，解得，则；当时，解得，则当时，解得，则；综上不等式的解集为答案：见解析