教辅：新课标版数学（理）高三总复习之第5章单元测试卷

第五章单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．下列各式中不能化简为AD→的是()A.AB→＋CD→＋BC→B.AD→＋EB→＋BC→＋CE→C.MB→－MA→＋BD→D.CB→＋AD→－BC→答案D解析CB→＋AD→－BC→＝2CB→＋AD→.2．与向量a＝(－5,12)方向相反的单位向量是()A．(5，－12)B．(－513，1213)C．(12，－32)D．(513，－1213)答案D解析与a方向相反的向量只能选A，D，其中单位向量只有D.也可用公式n＝－a|a|＝－－5，12－52＋122＝(513，－1213)求得．3．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b夹角为()A.π3B.π2C.2π3D.3π4答案C解析如图所示，四边形ABCD为平行四边形，△ABC为边长为1的等边三角形，记AB→＝a，AD→＝b，则a与b的夹角为2π3，故选C.4．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝()A.5B.10C．25D．10答案B解析∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0.∴x＝2，∴a＝(2,1)，∴a2＝5.又∵b2＝5，∴|a＋b|＝a＋b2＝a2＋2a·b＋b2＝10.故选B.5．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝()A．5－4iB．5＋4iC．3－4iD．3＋4i答案D解析根据已知得a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.6．已知复数z＝1＋2i23－4i，则1|z|＋z－等于()A．0B．1C．－1D．2答案A解析z＝1＋2i23－4i＝4i－33＋4i25＝－16－925＝－1，所以1|z|＋z－＝1－1＝0.故选A.7．对于复数z1，z2，若(z1－i)z2＝1，则称z1是z2的“错位共轭”复数，则复数32－12i的“错位共轭”复数为()A．－36－12iB．－32＋32iC.36＋12iD.32＋32i答案D解析方法一：由(z－i)(32－12i)＝1，可得z－i＝132－12i＝32＋12i，所以z＝32＋32i.方法二：(z－i)(32－12i)＝1且|32－12i|＝1，所以z－i和32－12i是共轭复数，即z－i＝32＋12i，故z＝32＋32i.8．已知向量a，b满足|a|＝2，a2＝2a·b，则|a－b|的最小值为()A.14B.12C．1D．2答案C解析根据已知由a2＝2a·b，可得2a·b＝4且|b|cosθ＝1(其中θ为两向量夹角)，故|a－b|＝a2＋b2－2a·b＝|b|＝1cosθ≥1，即当cosθ＝1时取得最小值1.9．如图所示，已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心，则(OA→＋OB→)·(OA→＋OC→)等于()A.19B．－19C.16D．－16答案D解析∵点O是边长为1的等边三角形ABC的中心，∴|OA→|＝|OB→|＝|OC→|＝33，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝2π3.∴(OA→＋OB→)·(OA→＋OC→)＝OA→2＋OA→·OC→＋OA→·OB→＋OB→·OC→＝(33)2＋3×(33)2cos2π3＝－16.10．与向量a＝(72，12)，b＝(12，－72)的夹角相等，且模为1的向量是()A．(45，－35)B．(45，－35)或(－45，35)C．(223，－13)D．(223，－13)或(－223，－13)答案B解析方法一：|a|＝|b|，要使所求向量e与a，b夹角相等，只需a·e＝b·e.∵(72，12)·(45，－35)＝(12，－72)·(45，－35)＝52，排除C，D.又∵(72，12)·(－45，35)＝(12，－72)·(45，35)＝－52.∴排除A.方法二：设a＝OA→，b＝OB→.由已知得|a|＝|b|，a⊥b，则与向量a，b的夹角相等的向量在∠AOB的角平分线上，与a＋b共线．∵a＋b＝(4，－3)，∴与a＋b共线的单位向量为±a＋b|a＋b|＝±(45，－35)，即(45，－35)或(－45，35)．11．若O为平面内任一点且(OB→＋OC→－2OA→)·(AB→－AC→)＝0，则△ABC是()A．直角三角形或等腰三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形但不一定是直角三角形D．直角三角形但不一定是等腰三角形答案C解析由(OB→＋OC→－2OA→)(AB→－AC→)＝0，得(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝0.∴AB2→－AC2→＝0，即|AB→|＝|AC→|.∴AB＝AC.12．若平面内共线的A，B，P三点满足条件OP→＝a1OA→＋a4027OB→，其中{an}为等差数列，则a2014等于()A．1B．－1C．－12D.12答案D解析由OP→＝a1OA→＋a4027OB→及向量共线的充要条件得a1＋a4027＝1.又因为数列{an}为等差数列，所以2a2014＝a1＋a4027＝1，故a2014＝12.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知复数z＝1－3i3＋i，z是z的共轭复数，则z的模等于________．答案1解析z＝1－3i3＋i＝－i2－3i3＋i＝－ii＋33＋i＝－i，|z|＝|i|＝1.14．已知A，B，C是圆O：x2＋y2＝1上三点，OA→＋OB→＝OC→，则AB→·OA→＝________.答案－32解析由题意知，OACB为菱形，且∠OAC＝60°，AB＝3，∴AB→·OA→＝3×1×cos150°＝－32.15．已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋b|＝7，〈a，b〉＝π3，则|b|＝________.答案2解析由|a＋b|＝7，可得|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×|b|cosπ3＋|b|2＝7，所以|b|2＋|b|－6＝0，解得|b|＝2或|b|＝－3(舍去)．16．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，n)，若|a＋b|＝a·b，则n＝________.答案3解析易知a＋b＝(3，n＋1)，a·b＝2＋n.∵|a＋b|＝a·b，∴32＋n＋12＝2＋n，解得n＝3.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知A(－1,0)，B(0,2)，C(－3,1)，AB→·AD→＝5，|AD→|＝10.(1)求D点坐标；(2)若D点在第二象限，用AB→，AD→表示AC→；(3)AE→＝(m,2)，若3AB→＋AC→与AE→垂直，求AE→的坐标．答案(1)D(2,1)或D(－2,3)(2)AC→＝－AB→＋AD→(3)AE→＝(－14,2)解析(1)设D(x，y)，则AB→＝(1,2)，AD→＝(x＋1，y)．∴AB→·AD→＝x＋1＋2y＝5，(x＋1)2＋y2＝10.解得x＝2，y＝1或x＝－2，y＝3.∴D(2,1)或D(－2,3)．(2)由(1)可知AD→＝(－1,3)．设AC→＝mAB→＋nAD→，即(－2,1)＝m(1,2)＋n(－1,3)，∴－2＝m－n，1＝2m＋3n.∴m＝－1，n＝1.∴AC→＝－AB→＋AD→.(3)∵3AB→＋AC→＝3(1,2)＋(－2,1)＝(1,7)，AE→＝(m,2)，且3AB→＋AC→与AE→垂直，∴(3AB→＋AC→)·AE→＝0.∴m＋14＝0.∴m＝－14.∴AE→＝(－14,2)．18．(本小题满分12分)已知向量a＝(sinθ，cosθ)，与b＝(3，1)，其中θ∈(0，π2)．(1)若a∥b，求sinθ和cosθ的值；(2)若f(θ)＝(a＋b)2，求f(θ)的值域．答案(1)sinθ＝32，cosθ＝12(2)(7,9]解析(1)∵a∥b，∴sinθ·1－3cosθ＝0，求得tanθ＝3.又∵θ∈(0，π2)，∴θ＝π3，∴sinθ＝32，cosθ＝12.(2)f(θ)＝(sinθ＋3)2＋(cosθ＋1)2＝23sinθ＋2cosθ＋5＝4sin(θ＋π6)＋5.又∵θ∈(0，π2)，∴θ＋π6∈(π6，2π3)，∴12sin(θ＋π6)≤1.∴7f(θ)≤9，即函数f(θ)的值域为(7,9]．19．(本小题满分12分)设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(2a＋c)·BC→·BA→＋c·CA→·CB→＝0.(1)求角B的大小；(2)若b＝23.试求AB→·CB→的最小值．答案(1)23π(2)－2解析(1)因为(2a＋c)BC→·BA→＋cCA→·CB→＝0，所以(2a＋c)accosB＋cabcosC＝0.即(2a＋c)cosB＋bcosC＝0.则(2sinA＋sinC)cosB＋sinBcosC＝0.所以2sinAcosB＋sin(C＋B)＝0.即cosB＝－12，所以B＝2π3.(2)因为b2＝a2＋c2－2accos2π3，所以12＝a2＋c2＋ac≥3ac，即ac≤4.当且仅当a＝c时取等号，此时ac最大值为4.所以AB→·CB→＝accos2π3＝－12ac≥－2.即AB→·CB→的最小值为－2.20．(本小题满分12分)已知向量a＝(m，cos2x)，b＝(sin2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图像过点(π12，3)和点(2π3，－2)．(1)求m，n的值；(2)将y＝f(x)的图像向左平移φ(0φπ)个单位后得到函数y＝g(x)的图像，若y＝g(x)图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．答案(1)m＝3，n＝1(2)[kπ－π2，kπ]，k∈Z解析(1)由题意知f(x)＝a·b＝msin2x＋ncos2x.因为y＝f(x)的图像经过点(π12，3)和(2π3，－2)，所以3＝msinπ6＋ncosπ6，－2＝msin4π3＋ncos4π3.即3＝12m＋32n，－2＝－32m－12n，解得m＝3，n＝1.(2)由(1)知f(x)＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π6)．由题意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin(2x＋2φ＋π6)．设y＝g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0,2)，由题意知x20＋1＝1，所以x0＝0.即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y＝g(x)得sin(2φ＋π6)＝1.因为0φπ，所以φ＝π6.因此g(x)＝2sin(2x＋π2)＝2cos2x.由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z，得kπ－π2≤x≤kπ，k∈Z，所以函数y＝g(x)的单调递增区间为[kπ－π2，kπ]，k∈Z.21．(本小题满分12分)已知向量m＝(3sinx4，1)，n＝(cosx4，cos2x4)．(1)若m·n＝1，求cos(2π3－x)的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．答案(1)－12(2)(1，32)解析(1)m·n＝3sinx4cosx4＋cos2x4＝32sinx2＋1＋cosx22＝sin(x2＋π6)＋12，∵m·n＝1，∴sin(x2＋π6)＝12.∵cos(x＋π3)＝1－2sin2(x2＋π6)＝12，∴cos(2π3－x)＝－cos(x＋π3)＝－12.(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理，得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC.∴2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC.∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA≠0.∴cosB＝12.∵0Bπ，∴B＝π3.∴0A2π3.∴π6A2＋π6π2，∴sin(A2＋π6)∈(12，1)．又∵f(x)＝sin(x2＋π6)＋12.∴f(A)＝sin(A2＋π6)＋12.故函数f(A)的取值范围是(1，32)．22．(本小题满分12分)已知平面上的两个向量