三角函数复习

一、角的概念及任意角三角函数1.角的概念(1)正角、负角和零角：按时针方向旋转所形成的角叫；按时针方向旋转所形成的角叫；没有作任何旋转，称它形成一个角．负角正角零逆顺2.象限角与终边相同的角的表示:(1)象限角：使角的顶点与重合，角的始边与重合，角的终边落在第象限，就说这个角是第象限角．原点x轴的非负半轴几几{|=2k+,kZ}或{|=360k+,kZ}(,终边相同)x轴正半轴=2k,kZx轴负半轴=2k+,kZ2y轴正半轴=2k+,kZy轴负半轴=2k+,kZ3222k+2k,kZ终边相同的角轴线角象限角ⅠⅡⅢⅣ2k+2k+2,kZ322k+2k+,kZ322k+2k+,kZ2(2)与角α终边相同的角的集合：．一、角的概念及任意角三角函数{θ|θ＝2kπ＋α，k∈Z}3.角的度量:【思考探究】(1)终边相同的角相等吗？它们的大小有何关系？(2)锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于90°的角是锐角吗？提示：(1)终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍．(2)第一象限角不一定是锐角，如390°，－300°都是第一象限角，但它们不是锐角．小于90°的角也不一定是锐角，如0°，－30°，都不是锐角．1．终边与坐标轴重合的角α的集合为()A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°，k∈Z}C．{α|α＝k·90°，k∈Z}D．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C练习一(3题)2.2弧度的圆心角所对弦长为2，则这个扇形的面积为______。21sin1AOB1sin1r1sin11sin11sin2212S3.(1)将－570°用弧度制表示出来，并指出它所在的象限．(2)将用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它有相同终边的所有角．(1)已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数；(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20cm，求扇形的面积．解析：(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l，半径为r，依题意有l＋2r＝10，①12lr＝4.②①代入②得r2－5r＋4＝0，解之得r1＝1，r2＝4.当r＝1cm时，l＝8(cm)，此时，θ＝8rad＞2πrad舍去；当r＝4cm时，l＝2(cm)，此时，θ＝rad.12解析：(2)∵α＝π180×72＝25π∴S＝12α·r2＝12×25π×202＝80π(cm2)∴扇形的面积为80πcm2.(1)已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数；(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20cm，求扇形的面积．已知一扇形的圆心角是α，半径为R，弧长l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l.(2)若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【变式训练】解析：(1)α＝60°＝π3rad，∴l＝α·R＝π3×10＝10π3cm.(2)由题意得l＋2R＝20，∴l＝20－2R(0＜R＜10)．∴S扇＝12l·R＝12(20－2R)·R＝(10－R)·R＝－R2＋10R.∴当且仅当R＝5时，S有最大值25.此时l＝20－2×5＝10，α＝lR＝105＝2rad.∴当α＝2rad时，扇形面积取最大值．(1)定义：任意角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上任意一点P(x，y)到原点的距离为r,则4．任意角的三角函数一、角的概念及任意角三角函数(3)三角函数的定义域正弦函数y＝sinα的定义域：余弦函数y＝cosα的定义域：正切函数y＝tanα的定义域：_______________________{α|α∈R}．{α|α∈R}．.POxy(2)三角函数的符号如图所示：即：____________________一全正，二正弦，三两切，四余弦．(5)特殊角的三角函数值:sincostancot06432322(4)三角函数线:正弦线MP、余弦线OM、正切线AT、(余切线)OMAPTxy01222332232323310-1101210不存在不存在-100不存在0010不存在不存在0133一、角的概念及任意角三角函数已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．解析：∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，r＝x2＋y2＝4t2＋－3t2＝5|t|，当t＞0时，r＝5t，sinα＝yr＝－3t5t＝－35，cosα＝xr＝4t5t＝45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34；当t＜0时，r＝－5t，sinα＝yr＝－3t－5t＝35，cosα＝xr＝4t－5t＝－45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34.综上可知，t＞0时，sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34；t＜0时，sinα＝35，cosα＝－45，tanα＝－34.已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．【变式训练】1.已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ，cosθ.解析：∵θ的终边过点(x，－1)(x≠0)，∴tanθ＝－1x，又tanθ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.当x＝1时，sinθ＝－22，cosθ＝22；当x＝－1时，sinθ＝－22，cosθ＝－22.练习二(6题)2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是()A.2π3B.11π6C.5π6D.3π4B3．若点P在角23π的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标为()A．(1，3)B．(3，－1)C．(－1，－3)D．(－1，3)D4.函数y=的值域是__________xxxxxxtan|tan||sin|sin||coscos{3,-1}1.若角α满足条件sin2α＜0，cosα－sinα＜0,则α在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B15.[02]sin()2xx在，上满足的的取值范围是525A.0,B.C.D.666636，，，6.利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围．1(2)cos.2x1(1)sin;2xB522,66kxkk¢22,33kxkk¢二、同角三角函数基本关系式1.关系式(三倒二商三平方):(1)sincsc=1;cossec=1;tancot=1(2)tan=;cot=(3)sin2+cos2=1;1+tan2=sec2;1+cot2=csc2cossinsincos2.利用上述关系,可以解决以下问题:(1)已知某角的一个三角函数值,求其他各三角函数值;(2)化简某些三角函数式;(3)证明某些三角恒等式.三、诱导公式1.常用的六组诱导公式:(1)2k+(即k360+)组(2)-(即180-)组(3)+(即180+)组(4)-组(5)-(即90-)组(6)+(即90+)组22用公式时都是把看作锐角,先化简式子,最后再转化!2.利用诱导公式求任意角的三角函数值,一般步骤:任意角的三角函数0到360角的三角函数任意正角的三角函数0到90角的三角函数练习四(4题)3.计算:sin210+sin280+tan10tan80=_____.1964.化简求值:(1)sin(-)=_______.tan(+)cos3(--)cot(+4)cos(+)sin2(+3)(2)=_____.C21212.若cos(-x)=,x(-,),则x的值为()(A)或(B)(C)(D)32676565623o1.tan600____________.=3四、三角函数的图象及性质1.正、余弦函数、正、余切函数的图象与主要性质{x|xR且x≠k+,(kZ)}21-12xyO1-12xO22xyO-函数y=sinxy=cosxy=tanx一周期图象定义域值域单调性奇偶性周期2k+]↑(kZ)2[2k-,22k+]↓(kZ)32[2k+,2RR[-1,1]R在[2k+,2k]↑(kZ)在[2k,2k+]↓(kZ)2k-,2k+)在((kZ)上都是增函数奇函数偶函数奇函数22[-1,1]四、三角函数的图象及性质2.周期函数和最小正周期的意义对于函数y=f(x),如果存在一个常数T≠0,使得当x取定义域中的每一个值时,都有f(x+T)=f(x)成立,那么函数y=f(x)叫做周期函数,T叫做f(x)的周期.对于一个周期函数来说,如果在所有的周期中存在一个最小的正数,就把这个最小正数叫做最小正周期.三角函数的周期概指最小正周期.3.正弦型函数y=Asin(x+)的振幅、周期、相位、初相及其图象与函数y=sinx之间的关系(1)当A0,0时,A称为该函数的振幅,2=T称为函数的周期,(为角速度),x+称为函数的相位,称为函数的初相.(2)当A0,0,xR时,y=Asin(x+)的图象,可以看作把y=sinx的图象上的所有的点向左(当0)或向右(0)平移||个单位,再把所得的各点的横坐标缩短(1)或伸长(01)到原来的1/倍(纵坐标不变),最后再把所得的图象各点纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍(横坐标不变).四、三角函数的图象及性质题型一：求三角函数的值域和最值(1)sin3cos,2yxxx.求函数的值域2sin()3yx1.,值域为，22(2)cossin,4yxxx.求函数的值域22151sinsin(sin),24yxxx12524.值域为，注:最终化为一个角的三角函数式或其复合式.xxxx22例1.求y=sin+2sincos+3cos的值域　1yxxx2解：2cos2sincos1(1)xxcos2sin2　2xxcos2sin2　22)4xsin(2　1)1.4xRxQsin(2　22,22.函数的值域为题型一：求三角函数的值域和最值sincossincosyxxxx.(2)求的值域sincos,2sin()22.4txxtx解：令则，2221111(1)1.2222ttttty11,22.函数的值域为(1)sin(2)yx　例2.求的单调递减区间32,3xy=-s解：函数可化n为：i2k-22k,.232xkz由题意可得5k-k,.1212xkz　5k-k().1212kz函数的单调递减区间为　　，题型二：三角函数的单调性题型二：三角函数的单调性(2)比较tan1,tan2,tan3的大小.,tan3tan3tan,2231.22yx解:tan2=tan2-在上是增函数,且-2-tantan3tan1tan2tan3tan1.2-即x0222３tancot,331.若、（，）且则必有()２（Ａ）　（Ｂ）　（C）　(D)２２01011例3.已知y=sinx在（，）内是减函数,则()２２(Ａ)　(Ｂ)-1　(Ｃ)　(D)x022yCB函数f(x)=2sinx在［