测量误差的基本知识

第五章误差基本知识重点误差的分类及特点中误差误差传播定理算术平均值的中误差难点误差传播定理非等精度观测§5.1测量误差概述1.什么叫误差？误差＝观测值－真值∆i＝li－X2.研究误差的目的怎样提高精度？怎样去满足精度进行施测？3.误差产生的原因仪器、设备－－构造不完善观测者－－眼睛的分辨率60″外界条件－－气温、大气折光、风力等影响4.误差的分类观测成果的精确程度简称为精度，观测精度取决于观测时所处的条件。依据观测条件来区分观测值，可分为：同等精度：观测条件相同的各次观测不等精度观测：观测条件不相同的各次观测在相同观测条件下测量误差可分为：①过失误差（粗差）：观测者错误引起问题（1）：甲建筑公司在郑州大学行政楼施工中进行变形观测，一次用DS3仪器测量A点的沉降量为＋1.3mm，请问这次测量结果是不是过失误差？②系统误差：误差的大小符号按一定的规律变化产生的原因：外界条件、仪器设备、观测方法、计算手段消除、减弱系统误差方法：检校仪器求改正数对称观测③偶然误差：误差的大小、符号无一定的规律变化，但符合某一统计规律产生的原因：人的感觉器官、仪器的性能处理方法：进行多余观测•有了多余观测，可以发现观测值中的错误，以便将其剔除和重测。•有了多余观测，观测值之间必然产生矛盾（往返差、不符值或闭合差等），差值如果大到一定的程度，就认为观测值中有错误，或者说误差超限，需要返工重测。•差值如果不超限，则按偶然误差的规律加以处理，称为“闭合差的调整”问题（2）判断下列误差各属于哪些误差：数据记错、尺子颠倒、温度改正、尺长改正、大气折光误差、视准误差、度盘偏心误差、竖轴误差、尺子零点误差、对中误差、照准误差、估读误差5.偶然误差的特性现重复观测了多个三角形内角和，得到真误差∆i＝Li－180°，统计见表5-1，从这个列表中，我们可以看出偶然误差的几个特性：①有界性②密集性③对称性；④抵偿性6.偶然误差的分布曲线•误差分布曲线一条正态分布曲线，可用正态分布概率密度函数表示：§5.2衡量精度的标准一、精度的含义所谓精度，是指误差分布的集中与离散程度。如误差分布集中（曲线a），则观测精度高；若误差分布离散（曲线b），则观测精度就低。二、平均误差θ＝［｜∆｜］/nθ越小，精度越高三、中误差m越小，精度越高例1、设甲乙两组观测，真误差为：甲：＋4″，＋3″，0″，－2″，－4″乙：＋6″，＋1″，0″，－1″，－5″试比较两组的精度。nm1、平均误差：θ甲＝θ乙＝2.6″•甲组的离散区间（－4，＋4）•乙组的离散区间（－5，＋6）•所以甲组精度高。2、中误差：•所以甲组精度高关于中误差要注意两点•中误差（m）与真误差（∆）不同，它只是表示某一组观测值的精度指标，并不等于任何观测值的真误差。若为等精度观测，那么组中每个观测值的精度皆为m。•中误差的概率含义是：对任一观测值li的真误差∆i，落在区间[－m，+m]的概率是0.68。四、相对误差例2、假设现在丈量了两段距离：甲：100±0.01米；乙：200±0.01米到底那组的精度高些呢？如果从中误差来看，两组的精度相等，但这样显然不合理。因为实际上距离测量的误差与长度相关，距离越大，误差的累积就越大,这就需要引入相对误差：K=｜m｜/D（注意化为分子为1的形式）K甲＝1/10000,K乙＝1/20000,甲组精度高。例3、β1＝28°35′18″±3.8″；β2＝308°15′12″±3.2″，那组的精度高？五、极限误差P{-m＜∆＜m｝＝0.683P{-2m＜∆＜2m｝＝0.954P{-3m＜∆＜3m｝＝0.997我们可以看到，对于真误差来说，它的值落在区间[－3m，＋3m]几乎是肯定的事。因此在测量工作中，我们常常取三倍中误差作为偶然误差的容许值（或限差），如果精度要求较高时，就可以取两倍中误差作为限差，即：∆容＝士2|m|或∆容＝士3|m|§5.3误差传播定律误差传播定律：是指描述观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律一、一般函数的中误差设Z=f(x1,x2,…,xn)，其中x1,x2,…,xn属于独立自变量（如直接观测值），他们的中误差分别为m1,m2,…,mn则函数Z的中误差为：2222222121)(...)()(nnzmxfmxfmxfm二、特殊函数的中误差1、倍数函数：Z=kx中误差：mz=kmx2、和差函数：Z=x1±x2±…±xn中误差：3、线形函数：Z=k1x1±k2x2±…±knxn中误差：22221...nzmmmm2222222121)(...)()(nnzmkmkmkm例4：在△ABC中，测量得a＝137.285±0.012m∠A=56°35′18″±38″,∠B=38°30′32″±26″求b及其中误差？解：b=asin∠B/sin∠A=137.285sin38°30′32″/sin56°35′18″＝102.402db＝b/ada＋bctan∠B(d∠B/ρ″)－bctan∠A（d∠A/ρ″）ρ″=206265″mb²＝（b/a）²ma²＋（bctan∠B）²（mB/ρ″)²＋（bctan∠A）²（mA/ρ″)²＝0.0000498mb＝±0.022，则b＝102.402±0.022m例5：在O点观测了3个方向，测得方向值l1、l2、l3，设各方向的中误差均为m，求mα、mβ和mγ。•α＝l2－l1，•β＝l3－l2，•γ＝α＋β，•（错误计算：因为α和β并非独立的观测值，因为它们都用到了方向值l2）正确计算应为：•γ＝l3－l1，从这道题应该注意到中误差传播定律的前提是x1、x2…xn为相互独立的观测值。αβγl1l2l3小结•正确列出函数式；•检查观测值是否独立；•求偏微分并代入观测值确定系数；•套用公式求出中误差。思考题：一个边长为l的正方形，若测量一边中误差为ml＝±1cm，求周长的中误差？若四边都测量，且测量精度相同，均为ml，则周长中误差是多少？§5.4等精度直接观测值1.算术平均值原理假设对某量X进行了n次等精度的独立观测，得观测值l1，l2，…ln算术平均值为：L=(l1+l2+…ln)/n=[l]/n算术平均值原理:当n→∞时，L=X证明：∆i＝li－X,[∆]=[l]－nX，[∆]/n=[l]/n－X，根据偶然误差第4特性即证算术平均值是观测量的“最可靠值”，或者叫做“最或是值”。2、或然误差或然误差：vi＝li－L或然误差特性：［v］=03、由或然误差求中误差：（白塞尔公式）例：见教材中的例子4、算术平均值中误差：从这个公式可以看出，要使算术平均值中误差变小，可以通过两个方面来实现：一是增加观测次数n，但观测次数也不可能无限多，而且增加到一定次数后对算术平均值中误差的影响不明显，所以一般n取2～4；二是减小每次观测时的中误差m，也就是要改善观测条件，例如用精度更高的仪器，提高观测者的技能、责任心，在气象条件好的环境下观测。§5.5误差传播定律的应用一、水准测量的误差分析每站的高差为：h=a-b；m读≈±3mm一站的高差中误差：m站=≈±4mm线路n站，则总高差：取3倍中误差为限差，则普通水准路线的容许误差为：二、水平角观测的误差分析用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角，那么用盘左盘右观测同一方向的中误差为±6″，所以瞄准一个方向的中误差为：上半测回角值：β半＝b－a半测回角值差：半测回差取2m＝±34″，考虑到其它不利因素，所以取半测回差应该小于40″。一测回角值：β＝（β上＋β下）/2一测回角值精度mβ=±8.5″测回角值之差：∆β=β1-β2，m∆β=±12″测回差取2m=±24″,规范测回差限差24″例：为了让某一角度的精度达到±4″,问用DJ6经纬仪需要测几个测回？解：n＝（8.5/4）²＝4.5所以需要测5个测回假定精度达到±1.7″,用DJ6经纬仪测几个测回？如果用DJ2经纬仪需要测几个测回？DJ6:n＝（8.5/1.7）²＝25测回DJ2:n＝（2.82/1.7）²＝2.8,即3测回§5.6加权平均值及其中误差例：假设对一个水平角进行了两组等精度的观测，其中甲组观测了2测回，测得水平角分别为l1、l2，计算得平均L1=(l1+l2)/2；乙组观测了4测回，测得水平角分别为l3、l4、l5、l6,计算得平均L2=(l3+l4+l5+l6)/4。那么这个水平角应怎样计算？①L=(L1+L2)/2②L=(l1+l2+l3+l4+l5+l6)/6=(2L1+4L2)/(2+4)一、非等精度观测及观测值的权上例中：甲组观测值的算术平均值精度：而乙组观测值的算术平均值精度为：m2m1，也就是L2的精度比L1要高。如果要将L1、L2进行平均，应该是精度高的数值所占的“比重”大一些，精度低的数值所占的“比重”应该小一些，这个“比重”就是通常我们所说的“权”。1、权的定义权：观测值精度的可靠程度。“权”与中误差成反比，观测值或观测值函数的精度越高，其权越大。Pi=λ²/mi²（λ是常数）2、单位权在Pi=λ²/mi²中，当Pi=1，Pi为单位权①Pi=1时相应的观测值，称单位权观测值;②Pi=1时，λ²＝mi²，当权为1时，λ常数等于观测值的中误差，所以称为单位权中误差（用m0表示）3、定权的常用方法①等精度观测值算术平均值的权：λ＝m（观测值中误差），，则Pn＝n②水准测量的权：水准路线的权与路线长度成反比，即Pi＝K/Li二、加权平均值及其中误差1.加权平均值例：L=(2L1+4L2)/(2+4)2.单位权中误差（m0）3、加权平均值的中误差（M0）M0＝例：如图，已知L1＝4Km，L2＝2.5Km，L3＝8.5Km1][][0nPVVnPm][0PmHA＝78.324m，h1＝-7.980m；HB＝64.347m，h2＝5.992m；HC＝24.836m，h3＝45.516m求P点的高程平均值及其中误差？加权平均值:HP=［PL］/［P］=70.343m单位权中误差：m0==±9mm加权平均值的中误差：M0==±3.2mm水准路线结点P高程路线长权P×LV(mm)PvvL170.34442.5175.8612.5L270.3392.54281.356-464L370.3528.51.284.422997.2∑70.3437.7541.638163.7