边界层理论

§1边界层的概念§2边界层微分方程式§5平板边界层§3边界层几种厚度的定义§4平板边界层动量积分方程§6边界层的分离、压强阻力边界层理论§1边界层的概念讨论雷诺数足够大的流动时，能否在整个流场忽略粘性，作理想流体假设，使问题简单易解不论流动的雷诺数大到什么程度，只要流体与固壁之间有沿壁面切向的相对运动，由于无滑移物面条件必须满足，所以紧贴着物体表面，有一层薄的边界层，在边界层中流速沿壁面法向的变化非常急剧，而且雷诺数越大，边界层越薄，流速梯度越大，所以在边界层中，粘性力是必须要考虑的。而在边界层外，则完全可以作理想流体处理。回答δ(t)t时刻t时刻t=0突然起动理想流体粘性流体δ处流速为1%UUUU无限长平板突然起动的例子边界层厚度可以看成是壁面对来流的粘滞作用扩散范围的度量，定义为壁面起沿法向至流速达到外界主流流速之99%处。粘性扩散的范围随t和的增加而增加，且与成比例。可见对于大雷诺数流动，边界层是很薄的，除非有非常长的作用时间。平板突然起动的例子中，估算水的边界层厚度，1秒后为0.4cm，一小时后为0.24mt64.3t正因为边界层的厚度比起一般规则物体的曲率半径是很薄的，所以在局部观察边界层内的流动时，物面就好象是平板一样。由此可见，一块平板的外部绕流问题是最重要，最基本的。为限制粘性扩散的作用时间，考虑长度为l的平板恒定绕流。外界主流中的一个流体质点从平板前缘起顺流运动x距离，受板面粘滞作用影响的时间为x/U，可见边界层厚度δ将随x增加，估计其量级为δ(x)UUuxxOy()()/xxUxRex12非流线，是一个区域范围的界线。Uxc层流边界层紊流边界层过渡区粘性底层边界层中的流动也存在两种流态，从前缘起自层流开始，随x增加，边界层越来越厚，壁面对扰动的稳定作用逐渐减弱，直至发生流态的转捩。转捩点对应的雷诺数记为，称为转捩临界雷诺数。xCUxCReC影响边界层转捩的因素很多、很复杂，所以层流与紊流的转捩不是在某个断面突然发生的，而是在一个过渡区内完成的。转捩点主要依靠试验确定。一般认为转捩临界雷诺数在3×105～3×106之间。Uxc层流边界层紊流边界层过渡区粘性底层层流边界层与紊流边界层在边界层厚度、边界层内速度分布和壁面切应力等方面有很大的区别。紊流边界层中雷诺应力所代表的动量对流使流速分布趋于均匀，所以紊流边界层比层流边界层厚，顺流增厚的速度也比层流边界层快，相对均匀的流速分布还导致壁面切应力的增加。正因为如此，对两种流态的边界层必须分别讨论。层流边界层紊流边界层012340.20.40.60.81.0y/δlux/U,ux/UUxc层流边界层紊流边界层粘性底层均匀来流圆管进口边界层发展至管轴汇合，此后形成充分发展的圆管流动。如果在汇合前边界层还没有发生转捩，那么圆管流动呈层流流态，否则为紊流流态。§2边界层微分方程式根据边界层的特点，对N-S方程的各项进行量级分析，去掉高阶小量的项，简化为边界层微分方程。δ(l)UuxxOylδ(l)UuxxOyl边界层厚度方向的特征长度比长度方向的特征值l是高一阶的小量。边界层内流动的惯性力项与粘性力项是同阶量项。比小一个量级。比小一个量级。)(lyuxyxu00][11yuxuypuuyuyxpyuuxuuyxyxxxyxx0][1][11][1][11yuxuuuyuyuuxuxypyuuxuuuuyuyuuxuxxpyuuxuuyxyyyxyyyyyxyxxxxxxyxx边界层微分方程简化边界上的p又可从边界层外部流动得到，外部流动可看成理想流体的流动，根据伯努利方程const22UpxUUxpxpdddd11边界层中一个断面上的p都是相等的，可用其外边界上的p来代表。0yp)(xppδ(l)UuxxOlyxUUxpxpdddd11δ(l)UuxxOly][1ddyxxxyxxuuyuyxUUyuuxuuU是边界层外边界上的流速，可从外部流动解得，对于平板绕流的情况，U是常数。边界层微分方程最终可写成§3边界层几种厚度的定义因为有了边界层，使通过断面的流量比理想流体流动时减少了0d)(yuUx位移厚度1把这些流量折合成理想流体流动通过一个厚度1的流量，这个厚度就叫做位移厚度。yδuxδ10.99U01d)1(yUux边界层使来流的流线向外排挤了位移厚度的距离，所以位移厚度也称为排挤厚度。yδuxδ10.99U根据定义02d)1(yUuUuxx边界层内流动通过断面的质量流量为动量损失厚度20dyux动量流量为如果这些流量用理想流体流动速度U运动，则动量流量为0dyuUx0dyuuxx因为有了边界层，使通过断面的动量流量比理想流体流动时减少了根据定义0d)(yuUuxx把这些动量流量折合成理想流体流动通过一个厚度2的动量流量，这个厚度就叫做动量损失厚度。显然,21§4平板边界层动量积分方程对平板绕流的如图区域应用动量方程，进口断面选在平板前缘处，出口断面离前缘距离为x，出口断面厚度为当地边界层厚度δ(x)，进口断面厚度取为出口断面的δ(x)-δ1(x)，这样通过进口断面和出口断面的流量是相等的，必有一条流线可以连接两个断面的厚度，用它作为区域的上边界。δ(x)δ1(x)xOyδ(x)-δ1(x)由于是平板绕流，上边界和两断面上的压强都是常数，流体在沿程方向的受力只有板面摩擦力，所以动量方程具体化为：δ(x)δ1(x)xOyδ(x)-δ1(x))()(02)(021ddxxxxyUyuxxx00d)(0)()(02)(021ddxxxxyUyu202ddUx平板绕流边界层中沿程单位长度上的动量通量损失等于板面切应力)(0122)(02)(d)1(d)1(xxxxxxUyUuUyUuUuU上式左边)(22xU上式右边xxx00d)(δ(x)δ1(x)xOyδ(x)-δ1(x)0解释动量积分方程根据平板边界层动量积分方程，只要给出层流边界层内的速度分布假设就可推出2与的关系以及0与和U的关系，于是平板边界层动量积分方程可转化为关于x的常微分方程，进而求解。uUfyx()202ddUx§5平板边界层一.平板层流边界层例子δ(x)xOyuxU32ydycybaUux0,0.1xuyUuyx,.20,.3yuyx0,0.422yuyx由下列边界条件假设层流边界层内速度分布a=0b=3/2c=0d=-1/2δ(x)xOyuxU2321yyUux层流边界层内速度分布Uyuyx230028039d)1(02yUuUuxxUUx23dd280392xUdd140132/164.4xeRx202ddUx边界层厚度位移厚度动量损失厚度板面切应力平板（l×b）一侧摩擦力摩阻系数2/10.5xeRx2/10172.1d)/1(xexRxyUu2/102664.0d)/1(xexxRxyUuUu002120332(/)./uyURxyexDbxblUl003120664d.()/2/12328.1)(21lefRblUDC卜拉休斯用更加精确的相似解理论数值求解边界层方程，得到以下层流边界层结果：平板紊流边界层兼有壁面紊流和自由紊流的性质，在边界层的外区，流动特性与圆管紊流有所不同。二.平板紊流边界层oxy1.2δ界面平均位置0.78δ0.4δ边界层厚度δ势流紊流紊流/势流界面速度分布u05y570yyy7004,.0412..y①粘性底层②过渡区③紊流区④不稳定区紊流区与边界层外非紊流区的边界随时间、空间呈不规则变化（不是指平均流速分布曲线）。oxy1.2δ界面平均位置0.78δ0.4δ边界层厚度δ势流紊流紊流/势流界面速度分布u流速分布的分区与圆管紊流类似，在粘性底层速度分布为，在紊流区可统一使用对数流速分布律，常数与圆管稍有差别：yuuy254556.ln.代入动量积分方程，可解出03715./xRex紊流边界层厚度与x的五分之四次方成正比根据对数流速分布，可得摩阻系数的经验公式平板紊流边界层的流速分布也可用1/7定律近似描述用1/7定律计算动量损失厚度由实验知板面切应力解出摩阻系数1/7定律适用范围较小根据对数流速分布律得到的摩阻系数公式适用范围较大。58.2)(lg455.0lefRCuUyx()/1727720741400225.()//U5/4x5/1074.0lefRC7510105leR折合成摩阻系数的增量Uxc层流边界层紊流边界层由于平板首部转捩点前必有一段层流边界层，所以不存在全程为紊流的边界层，只能是混合边界层。按全程为紊流边界层的摩擦阻力计算应作修正。摩擦阻力增量)(22lftfCCCbxUD)(lftfCFCClxC分别表示板长为xc的紊流和层流摩阻系数)(lftfCeCCRAlftfCC,lelefRARC58.2)(lg455.0lelefRARC5/1074.0A可预先准备好，将随转捩雷诺数而变，具体取值可查表。ellftfCfRACClxC)(经修正后，实际混合边界层的摩阻系数令则Uxc层流边界层紊流边界层或二.粗糙平板紊流边界层平板紊流边界层流动中有关粗糙度、当量粗糙度、光滑和粗糙流动的分区、粗糙流动的流速分布等情况都与圆管紊流一致。与圆管紊流不同的是在平板紊流边界层流动中，沿程增长，沿程减小，粘性底层沿程增厚，所以对于ks一定的粗糙平板，即使平板前部为完全粗糙的流动，随着流程x的增加，经过一个过渡段，在距前缘相当距离后，就可能变为水力光滑的流动。平板紊流边界层流动水力光滑与粗糙的概念对流程x来说是局部的概念。转捩点处光滑的，整个平板必光滑；末端粗糙的，整个平板必粗糙。平板边界层流动的摩阻系数与雷诺数和相对光滑度有关，可查图表，在完全粗糙区摩阻系数只取决于相对光滑度。vRellks/§6边界层的分离、压强阻力非流线型物体绕流的边界层存在逆压区处于逆压区中边界层内的流速剖面会顺流变得越来越瘦削。px0分离点紧贴壁面的流体越走越慢，壁面切应力则越来越小，直到分离点处，壁面切应力降为零。从分离点起，边界层内的流体质点开始脱离壁面，此后便会发生流体沿着壁面‘回流’的现象，就象我们在§7-2中讨论平面Couette流时提到P-1的情况，这样边界层中从上游流来的流体在到达分离点时，受到堆积和回流的影响，只能被挤向主流，离开壁面，这就是边界层的分离。分离点理想流体粘性流体ABCB’S圆柱绕流边界层分离的例子边界层理论回答了实际流体绕流中物体阻力的成因，也对达朗贝尔佯谬作出了解释。由于在分离点后的回流区、旋涡区中压强大大下降，导致绕流物体前后的压差，形成压强阻力，也可称为形状阻力。绕流物体的阻力包括摩擦阻力和压强阻力两部分。粘性流体-3+1+1-3理想流体2sin41pCUp圆柱表面上的压力系数分布Up221UppCp为减小绕流物体的总阻力应从摩擦阻力和压强阻力两个方面综合考虑，其中降低压强阻力的原则是尽可能避免或推迟边界层的分离，缩小旋涡区。减阻的原则采用加糙等人工激流措施，提前转捩，使边界层在分离前转