平面向量的概念及运算

第27讲平面向量的概念及运算存唬湛梭齿嚷棋粮界狮谓哪汲肌嫁吵缩媳崭扑袜堡辕捅谚饱牲半铬体班剖平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算【学习目标】理解向量的概念及其几何表示，理解向量相等与共线的含义及几何意义．掌握向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义、并能灵活应用．粕兽展缉反惊何炉颅墩趣其誉证蓬隶蹿孟猫怪六胰洒佩轮后摹醒寅哮缓泼平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算【基础检测】1．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量a－b可表示为()A．3e2－e1B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2C谓宗胞逝淤催樊代路躯普弄消扔唤话课删蒸拖则遵盈戒杨楼粟写误窑浆池平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算2．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A.EFOFOEB.EFOFOEC.EFOFOED.EFOFOEB践汇秒白末测栖杠甚送讯瞄适痞贬堕吓曲臆功恤刨偏涩实郎邻为卵宝果蓬平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算3．在△ABC中，AB＝a，AC＝b，D为BC中点，则．1()2ADab栈圆备巍受所梭刚猩快诲桨晌昧劝酗姐屎杆橙虑戊枕镭煌红擎糯甄耪紊啃平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算4．已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，若c∥d，则k＝____，且c与d的方向．【解析】∵c∥d则c＝λd即ka＋b＝λ(a－b)，又a与b不共线，则k＝λλ＝－1即k＝－1.－1相反酗赛跟玖钧倔衷诡初杯寓嘿短教匝剩肮砖干苛傣纶哭古匿民亢请啤墟弱溜平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算5．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若ACAEAF，其中，λ，μ∈R，则λ＋μ＝.43初翁擎匀撩秦果辉糕棒品琳需卵型尧调水拾苞趋倚护长眩辕许羽麓暑浩鳃平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算【知识要点】1．向量的有关概念．(1)向量：叫向量，一般用a，b，c，…，来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母来表示，如：AB→.向量的大小，即向量的长度(或称模)，记作|AB→|.(2)零向量：的向量，记作0，其方向是任意的，我们规定：零向量和任何向量平行．(3)单位向量：单位长度的向量．(4)相等向量：长度相等且的向量．相等向量经过平移后总可以重合，记为a＝b.(5)平行向量：方向的非零向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上．长度为零既有大小又有方向的量长度等于1个方向相同相同或相反祭鱼骗容拟啊戚秆根詹膘涉食某奢偷论鸡嫌涯筹洁贺锅霞泥指舷水泵壬绑平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算2．向量的加、减运算．(1)向量加、减法的定义求两个向量和的运算叫做向量的加法；若，则向量x叫做a与b的差．(2)向量加、减法的几何意义向量加法的几何意义：向量的加法符合平行四边形法则和．如图所示的向量AC＝a＋b.向量减法的几何意义：向量的减法符合．如图所示的向量BA＝a－b(以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量)．b＋x＝a三角形法则三角形法则蛛霹蒋歪凑吵蔓猫仲苛郸旱许据猛线兴趟布禽祁婆顿变庶俊编熙啪匆烯杠平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算3．向量的数乘运算．(1)数乘向量的定义实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：|λa|＝|λ||a|；当λ0时，λa与a的方向；当λ0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0；当a＝0时，λa＝.(2)数乘向量的几何意义数乘向量的几何意义就是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩短．相同0灿画蕉恢豌火钒贿贱千蚊见榜十穆心惧肛摆兴竣抽朝山酣瘤适肉估聪钱材平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算(3)数乘向量的运算律设λ、μ为实数，则(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(μa)＝(λμ)a；λ(a＋b)＝λa＋λb.(4)共线向量(平行向量基本定理)若a＝λb，则a∥b；反之，若a∥b(b≠0)，则一定存在一个实数λ，使a＝λb.憎盟这殊淡绥挥因沽尤贼跳囱距镁曳珍冶时菊梨斡悟棱赂憾恨垄冈缴烬凤平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算一、向量及其几何意义例1给出下列命题：①已知λ，μ∈R，则(λ＋μ)a与a共线；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB＝DC；⑤已知A、B、C是不共线的三点，O是△ABC内的一点，若0OAOBOC，则O是△ABC的重心；⑥O是平面内一定点，A、B、C是平面内不共线的三个点，动点P满足()ABACOPOAABAC，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的内心．其中正确命题是(填命题的序号)．①④⑤⑥仙竣海班扮辖皿驳限紫查僧添甄鼎姨萨儒涪萝咒缀铀垒乎铜瘁脾戏际澈您平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算【解析】①由实数与向量的积，可知其正确．②若其中一个是零向量，则其方向不确定，故不正确．③AB∥CD，AB和CD可以共线，也可以平行，故不正确．④若四边形ABCD是平行四边形，则ABCD，所以AB＝DC；若四边形ABCD中，AB＝DC，则ABCD，所以四边形ABCD是平行四边形，故正确．涌酥豢拌仿坡瘟焊阑霉兼均咀正蹋培袱乐巷诀育甄创故枝绊细僧宙糕浚帛平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算⑤因为0OAOBOC，所以()OAOBOC，即OBOC是与OA方向相反且长度相等的向量．如图所示，以OB、OC为相邻的两边作平行四边形BOCD，则ODOBOC，所以ODOA，在平行四边形BOCD中，设BC与OD相交于E，则BEEC，OEED.所以AE是△ABC的边BC的中线，且|OA|＝2|OE|.所以O是△ABC的重心，故正确．见剩藩谦就绸演轩整扰咕殖沦脾澎伤额挤恤循垮金婉浙纲睦舒场巴谱抛浦平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算⑥ABAB与ACAC分别表示AB→与AC→方向的单位向量，设它们分别为'AB与'AC，设以它们为两条邻边的平行四边形是一个菱形AB′P′C′，'AP平分∠BAC，'AP＝λ('AB＋'AC)与'AP的方向相同，也平分∠BAC.由OPOAAP知P的轨迹为∠BAC的平分线，一定通过△ABC的内心，故正确．故填①④⑤⑥.【点评】(1)ABAB表示与AB同方向的单位向量．(2)向量的基本概念、几何意义常在客观题中出现，要求学生概念清晰，并能灵活运用．恤靛这伦灾究馅邪较稗板欲栏趣舌膨针斩惭煤鞘哟揖玖预觉芭订装解成址平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算二、线性运算例2在△ABC中，点D在AB上，且AD∶DB＝2∶1，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，记AB＝a，AC＝b，用a，b表示向量DE、AN、DM.毙俊速愁租持厌畅雍地驾言绅刽缝樊棉访章示找踊钾航掣项济张署绢敬沙平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算【解析】(如图)由D在AB中且AD∶DB＝2∶1，可得AD＝23AB，又DE∥BC，则AE＝23AC.由三角形法则，可知DE＝AE－AD＝23AC－23AB＝23(b－a)，由平行四边形法则AM＝12(AB＋AC)＝12(a＋b)，则AN＝23AM＝23·12(a＋b)＝13(a＋b)，DM＝AM－AD＝12(AB＋AC)－23AB＝－16AB＋12AC＝－16a＋12b.姻婴扬乓凳溢盗孔第逻纫讲囊辉颧健怂身官宏香机咽叉企瞧婶犊沏啪琵渊平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算【点评】问题涉及与平面图形相关的向量运算的求解，其策略是恰当运用三角形法则和平行四边形法则，同时注意向量的数乘运算几何意义的应用．气巢匿对软申椭攻蛆轩奥熏剃台纂宙鱼膛魔下彻赶坍嫂染谷楞烦雏洛皑崎平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算例3已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足PAPBPCAB，则点P与△ABC的关系为()A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边所在直线上D．P是AC边的一个三等分点D菏姓梳伐拙装当犯尺父草缀猴脂痒甘砒痪豺瓣泊棍驶婴卡竭销馅裂硷通辅平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算【解析】∵PAPBPCAB∴PA＋PC＝AB－PB＝AB＋BP＝AP∴PC＝AP－PA＝2AP故A、P、C三点共线且P是AC边的一个三等分点．故选D.【点评】本题要充分利用减法的运算法则及向量共线的充要条件．解此类问题时尽量造成共起点的两向量相减或首尾相接的向量之和，以方便化简．淖戮函应栓嫁岿婚嗜碎柒缚梆耸拇瞬荐扳顷厢雕缅母乱蒸娥甜快粳磺檬仆平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算三、向量共线的判定与应用例4已知A、B、C是平面内互异的三点，O为平面上任意一点且OC→＝xOA→＋yOB→，求证：A、B、C三点共线的充要条件是x＋y＝1.出浙宵母毯嫁耽禁叙亏袒燎芝春屠戈劲诗朔催润郴唇童诉秋闷办掠顽腋拿平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算【解析】若A、B、C三点共线，则存在λ∈R使得BC→＝λAB→，∴OC→－OB→＝λ(OB→－OA→)，∴OC→＝OB→＋λ(OB→－OA→)＝－λOA→＋(1＋λ)OB→，则x＝－λy＝1＋λ，∴x＋y＝1.若x＋y＝1，又OC→＝xOA→＋yOB→＝xOA→＋(1－x)OB→，∴OC→－OB→＝x(OA→－OB→)，∴BC→＝xBA→.∴A、B、C三点共线．凑沙域范扇佛括牲征烷圃守哆以撇昌隘歇舍敌荧奥硒改涌禹缴闹婴捕拜仕平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算〔备选题〕例5已知平面上不共线的四点O、A、B、C，若OA－4OB＋3OC＝0，则ABBC＝()A.13B.12C．2D．3D【解析】∵OA－4OB＋3OC＝0∴OA－OC＝4(OB－OC)∴CA＝4CB，∴CB＋BA＝4CB∴BA＝3CB，∴BACB＝3.故选D.【点评】解此题的关键在于凑成共起点的减法，以便化简．绸贬套接距郁耗涧抡揍鸣卷痪褂缠闺铣隐颗秉钮柄昂膊咎引妆券梅科诫律平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算1．向量线性运算技巧(1)用已知向量表示与其相关的另外一些向量时，在运用向量的加法、减法、数乘运算的同时，应充分利用平面几何的一些基本定理．(2)在求向量时尽可能转化到某平行四边形或三角形内、以便运用平行四边形法则和三角形法则，涉及到线段比时，一方面考虑平行线定理，另一方面充分运用数乘运算的几何意义．2．向量共线问题(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．俩肠睦狮蘑飞匀孝攻囤彻馅倾寞踪社勤碰发剩详曼氨功聊都绅景晃骂醒臭平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算(2011山东)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若13AA＝λ12AA(λ∈R)，14AA＝μ12AA(μ∈R)，且1λ＋1μ＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面的说法正确的是()A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上D可鸭吁讯凯屑许侨绿挖昧存好肉硼富酥亲禁兑器韵宝疚应韭贤郡吉币画擞平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算【解析】依题意，若C，D调和分割点A，B，则有AC＝λAB，AD＝μAB，且1λ＋1μ＝2.若C是线段AB的中点，则有AC＝12AB，此时λ＝12.又1λ＋1μ＝2，所以1μ＝0，不可能成立．因此A不对，同理B不对．当C，D同时在线段AB上时，由AC＝λAB，AD＝μAB知0λ1,0μ1，此时1λ＋1μ2，与已知条件1λ＋1μ＝2矛盾，因此C不对．若C，D同时在线段AB的延长线上，则AC＝λAB时，λ1，AD＝μAB时，μ1，此时1λ＋1μ2，与已知1λ＋1μ