求数列极限的24种方法及例题分析

目录1重要常数11.1知识讲解.....................................12常用不等式22.1知识讲解.....................................23数列极限定义43.1知识讲解.....................................43.2例题分析.....................................44Cauchy收敛原理94.1知识讲解.....................................94.2例题分析.....................................95夹逼定理125.1知识讲解.....................................125.2例题分析.....................................126Abel变换186.1知识讲解.....................................186.2例题分析.....................................187拉链定理207.1知识讲解.....................................207.2例题分析.....................................208级数收敛的必要条件218.1知识讲解.....................................218.2例题分析.....................................219单调有界定理229.1知识讲解.....................................229.2例题分析.....................................2210上下极限2710.1知识讲解.....................................2710.2例题分析.....................................27目录–2/65–11Toeplitz定理3211.1知识讲解.....................................3211.2例题分析.....................................3212Wallis公式3512.1知识讲解.....................................3512.2例题分析.....................................3513Stirling公式3613.1知识讲解.....................................3613.2例题分析.....................................3614压缩映射原理3914.1知识讲解.....................................3914.2例题分析.....................................3915Stolz定理4115.1知识讲解.....................................4115.2例题分析.....................................4116Heine定理4616.1知识讲解.....................................4616.2例题分析.....................................4617无穷乘积4917.1例题分析.....................................4918幂级数5018.1例题分析.....................................5019微分中值定理5219.1知识讲解.....................................5219.2例题分析.....................................5220Taylor公式5420.1知识讲解.....................................5420.2例题分析.....................................5421定积分定义5721.1知识讲解.....................................5721.2例题分析.....................................57目录–3/65–22积分第一中值定理5922.1知识讲解.....................................5922.2例题分析.....................................5923Euler-Maclaurin求和公式6323.1知识讲解.....................................6323.2例题分析.....................................6324多重积分定义6424.1知识讲解.....................................6424.2例题分析.....................................64第1章重要常数1.1知识讲解命题1.1.自然对数♠e=limn→∞1+1nn命题1.2.欧拉常数♠γ=limn→∞1+12+13+···+1n−lnn命题1.3.Basel问题♠∞∑n=11n2=π26命题1.4.Catalan常数♠G=∞∑n=0(−1)n(2n+1)2第2章常用不等式2.1知识讲解命题2.1.Jordan不等式♠2πx≤sinx≤x,0≤x≤π2左边等号成立当且仅当x=π2,右边等号成立当且仅当x=0.命题2.2.Wallis不等式♠1rπn+12(2n−1)!!(2n)!!1√πn,n∈N+命题2.3.算术平均值-几何平均值不等式♠设a1,a2,···,an是n个非负实数,则a1+a2+···+ann≥n√a1a2···an且等号成立当且仅当a1=a2=···=an.命题2.4.三角不等式♠对于任意实数a和b,都有||a|−|b||≤|a+b|≤|a|+|b|左边等号成立当且仅当ab≤0,右边等号成立当且仅当ab≥0或||a|−|b||≤|a−b|≤|a|+|b|左边等号成立当且仅当ab≥0,右边等号成立当且仅当ab≤0.命题2.5.Cauchy不等式♠对任意实数a1,a2,···,an和b1,b2,···,bn,都有n∑i=1aibi!2≤n∑i=1a2i!n∑i=1b2i!等号成立当且仅当bi=0(i=1,2,···,n)或存在常数k,使得ai=kbi.第2章常用不等式–3/65–命题2.6♠ex≥x+1,x∈R等号成立当且仅当x=0.命题2.7♠sinx≤x≤tanx,0≤xπ2两边等号成立均当且仅当x=0.命题2.8♠x1+x≤ln(1+x)≤x,x−1两边等号成立均当且仅当x=0.命题2.9♠1n+1ln1+1n1n,n∈N+.命题2.10♠n+1enn!en+1en+1,n∈N+.第3章数列极限定义3.1知识讲解定义3.1.数列极限定义♣设{xn}是一个给定的数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数ε0,总存在正整数N,使得当nN时,不等式|xn−a|ε都成立,则称数列{xn}收敛于a(或者称a是数列{xn}的极限),记为limn→∞xn=a或xn→a(n→∞)如果不存在这样的常数a,则称数列{xn}发散.注意学会灵活使用ε−N语言是学习数列极限的基本功.3.2例题分析练习3.1若limn→∞xn−axn+a=0.证明:limn→∞xn=a.证明依题意知,a,0.对∀ε∈0,12,∃N∈N+,∀nN,成立xn−axn+aε则|xn−a|ε|xn+a|=ε|(xn−a)+2a|≤ε(|xn−a|+2|a|)|xn−a|2|a|ε1−ε4|a|ε即limn→∞xn=a.练习3.2(武汉大学)证明:limn→∞sinn不存在.证明反设limn→∞sinn存在,设为a.则limn→∞sin(n+2)=a第3章数列极限定义–5/65–故limn→∞[sin(n+2)−sinn]=2limn→∞sin1cos(n+1)=0即limn→∞cos(n+1)=limn→∞cosn=0于是limn→∞sin2n=2limn→∞(sinncosn)=0即a=limn→∞sinn=0所以limn→∞(sin2n+cos2n)=limn→∞sin2n+limn→∞cos2n=0这与limn→∞(sin2n+cos2n)=limn→∞1=1矛盾.故limn→∞sinn不存在.注意本题还会在后文的题目中出现,以其他方法解之.练习3.3(Cauchy命题)证明:若limn→∞an=a(a可以是有限数,+∞,−∞),则limn→∞a1+a2+···+ann=a.证明a为有限数时.由limn→∞an=a知,∀ε0,∃N∈N+,∀nN,成立|an−a|εa1+a2+···+ann−a=|(a1−a)+(a2−a)+···+(an−a)|n≤|a1−a|+···+|aN−a|n+|aN+1−a|+···+|an−a|nMn+n−NnεMn+ε其中,M=|a1−a|+···+|aN−a|是一个确定的常数.令N1=maxN,Mε,则nN1时成立不等式a1+a2+···+ann−a2ε即limn→∞a1+a2+···+ann=a.a为+∞,−∞的情况类似.注意Cauchy命题的证明方法十分有特色,是极限理论中的基本方法之一,基本思想是分第3章数列极限定义–6/65–段估计.练习3.4证明:若limn→∞an=a,limn→∞bn=b,则limn→∞a1bn+a2bn−1+···+anb1n=ab.证明令an=a+αn,bn=b+βn,则αn,βn→0(n→∞).故a1bn+a2bn−1+···+anb1n=(a+α1)(b+βn)+···+(a+αn)(b+β1)n=ab+aβ1+···+βnn+bα1+···+αnn+α1βn+···+αnβ1n由Cauchy命题知,第二项和第三项都趋于0,下证第四项也趋于0.事实上,由αn→0(n→∞)知,αn有界,即存在M0,使得|an|≤M.故0α1βn+···+αnβ1n≤M|β1|+···+|βn|n→0(n→∞)从而limn→∞a1bn+a2bn−1+···+anb1n=ab.注意本题也可应用Cauchy命题的证明方法证之,即分段估计.练习3.5已知limn→∞an=a.证明:limn→∞12nn∑k=0Cknak=a.证明由limn→∞an=a知,对∀ε0,∃N∈N+,∀kN,成立|ak−a|ε因为2n=(1+1)n=n∑k=0Ckn所以12nn∑k=0Cknak−a=12nn∑k=0Ckn(ak−a)≤12nn∑k=0Ckn|ak−a|分两部分进行估计12nn∑k=0Ckn|ak−a|=12nN∑k=0Ckn|ak−a|+12nn∑k=N+1Ckn|ak−a|第一部分:由于{an}收敛,故存在M0,使得|ak−a|M对每个k成立.又Cknnk知12nN∑k=0Ckn|ak−a|M(1+n+···+nN)2n=M(nN+1−1)2n(n−1)MnN+12n→0(n→∞)第3章数列极限定义–7/65–故存在N1∈N+,当nmax{N,N1}时,成立12nN∑k=0Ckn|ak−a|ε第二部分:12nn∑k=N+1Ckn|ak