人教版高中数学必修一教案(讲义)：幂函数(PDF版)

幂函数与函数图象变换教师：苗金利-第1页-第8讲幂函数（powerfunction）与函数图象变换一、定义：形如()Ryxαα=∈是常数的函数。二、图象：()ayxaQ=∈a(－∞,0)0(0,1)1(1,+∞)类型双曲线直线抛物线直线抛物线第Ⅰ象限其他部分的图象由定义域及奇偶性，对称确定。注意：作出11111,,,,,1,2,32332a=−−−在第一象限的图象。利用性质补齐第二或三象限的图象。三、性质：（结合图象）1、过定点（1，1）2、单调性3、奇偶性4、渐近线5、幂函数图象的分布：2101221012011xxxxxxxxxxxx−−−−当时,当时,分数指数可以“加塞儿”四、例题分析例1．利用函数性质比较大小：1113622,3,6-第2页-例2．已知幂函数()yfx=的图象过点（2，22），试求此函数的解析式，并作出图象，判断奇偶性、单调性。例3．设m∈N*，已知函数22234()(2)mmfxmmx+−=−⋅在(0,+∞)上是增函数。（1）求函数()fx的解析式（2）设22[()]()(0)()fxgxfxλλ+=≠是常数，试讨论()gx在(-∞,0)上的单调性，并求()gx在区间(-∞,0)上的最值。-第3页-五、初等函数图象变换基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数。（三角函数、反三角函数待讲）由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数。问题：2()fxx=的图象变换，2222(1),1,2,||yxyxyxyx=+=+==（1）平移变换（2）对称变换（3）翻折变换例4．设函数)(xfy=与函数)(xgy=的图象如右图所示，则函数)()(xgxfy⋅=的图象可能是下面的（）-第4页-例5．作出下列函数的图象：（1）211xyx−=+（2）223yxx=−−（3）(1)2(1)xxyxx⎧⎪=⎨−≤⎪⎩-第5页-参考答案四、例题分析例1．解：311662228==121366339==166又986111362326∴构造16yx=在()∞0,+是单调递增的例2．解：设yxα=又过点22,2⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠222α∴=12α∴=−∴解析式12()fxx−=作图（见视频）定义域不关于原点对称()fx∴是非奇非偶函数()fx在()∞0,+是单调递减的例3．解：（1）()fx∵在()∞0,+单调递增22202340mmmm⎧−∴⎨+−⎩或22202340mmmm⎧−⎨+−⎩0234134144mmm⎧⎪⇔⎨−+−−⎪⎩或或2034134144mmm⎧⎪⎨−−−+⎪⎩或*m∈N∵1m∴=∴解析式()fxx=（2）222()xgxxxxλλ+==+1212,(,0)xxxx∀∈−∞且2221212121212222211212121212121211()()()()()()1()gxgxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxλλλλλλ⎛⎞⎛⎞⎛⎞∴−=+−+=−+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎛⎞−−=−+⋅=−−=−⋅⎜⎟⋅⎝⎠由于12xx120xx∴−()1212,,00xxxx∈−∞∴∵当()22121212,,0xxxxxxλλλ∈−∞−∴∴−此时2121212()()0xxxxxxλ−−⋅12()()gxgx∴故()gx在(),λ−∞−单调递增当()12,,0xxλ∈−时，212xxλ2120xxλ∴−-第6页-2121212()()0xxxxxxλ−∴−⋅12()()gxgx∴()gx∴在(),0λ−单调递减由上述可知，当xλ=−()gx有最大值22max()()2gxgλλλλλ+=−==−−五、初等函数图象变换（1）()yfx=()yfxa=+()yfx=()yfxb=+（2）()yfx=()yfx=−()yfx=()yfx=−()yfx=()yfx=−−()yfx=1()yfx−=（3）()yfx=()()0()0fxxyfxfxx≥⎧==⎨−⎩()yfx=()()0()()()0fxfxyfxfxfx≥⎧==⎨−⎩例4．A例5．见课堂左右移a单位0a向左，0a向右上下移b单位0b向上，0b向下关于y轴对称关于x轴对称关于(0,0)点对称关于yx=直线对称y轴右侧不变左侧作右侧的对称图象x轴上方不变，下方的图翻到x轴上方，下方不要