2015高三数学：导数压轴题题型归纳

Gothedistance第1页共36页导数压轴题题型归纳1.高考命题回顾例1已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷）(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)0.例2已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2（2013全国新课标Ⅰ卷）（Ⅰ）求a，b，c，d的值（Ⅱ）若x≥－2时,()()fxkgx，求k的取值范围。例3已知函数)(xf满足2121)0()1(')(xxfefxfx（2012全国新课标）(1)求)(xf的解析式及单调区间；(2)若baxxxf221)(，求ba)1(的最大值。例4已知函数ln()1axbfxxx，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为230xy。（2011全国新课标）（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当0x，且1x时，ln()1xkfxxx，求k的取值范围。例5设函数2()1xfxexax（2010全国新课标）(1)若0a，求()fx的单调区间；(2)若当0x时()0fx，求a的取值范围例6已知函数f(x)＝(x3+3x2+ax+b)e－x.（2009宁夏、海南）(1)若a＝b＝－3,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(－∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β－α＞6.2.在解题中常用的有关结论※(1)曲线()yfx在0xx处的切线的斜率等于0()fx，且切线方程为000()()()yfxxxfx。(2)若可导函数()yfx在0xx处取得极值，则0()0fx。反之，不成立。(3)对于可导函数()fx，不等式()fx00（）的解集决定函数()fx的递增（减）区间。(4)函数()fx在区间I上递增（减）的充要条件是：xI()fx0(0)恒成立（()fx不恒为0）.(5)函数()fx（非常量函数）在区间I上不单调等价于()fx在区间I上有极值，则可等价转化为方程()0fx在区间I上有实根且为非二重根。（若()fx为二次函数且I=R，则有0）。(6)()fx在区间I上无极值等价于()fx在区间在上是单调函数，进而得到()fx0或()fx0在I上恒成立(7)若xI，()fx0恒成立，则min()fx0;若xI，()fx0恒成立，则max()fx0(8)若0xI，使得0()fx0，则max()fx0；若0xI，使得0()fx0，则min()fx0.(9)设()fx与()gx的定义域的交集为D，若xD()()fxgx恒成立，则有Gothedistance第2页共36页min()()0fxgx.(10)若对11xI、22xI，12()()fxgx恒成立，则minmax()()fxgx.若对11xI，22xI，使得12()()fxgx,则minmin()()fxgx.若对11xI，22xI，使得12()()fxgx，则maxmax()()fxgx.（11）已知()fx在区间1I上的值域为A,，()gx在区间2I上值域为B，若对11xI,22xI，使得1()fx=2()gx成立，则AB。(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0fx有两个不等实根12xx、，且极大值大于0，极小值小于0.(13)证题中常用的不等式:①ln1(0)xxx②≤ln+1(1)xxx（）③1xex④1xex⑤ln1(1)12xxxx⑥22ln11(0)22xxxx3.题型归纳①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用例7（构造函数，最值定位）设函数21xfxxekx(其中kR).(Ⅰ)当1k时,求函数fx的单调区间;(Ⅱ)当1,12k时,求函数fx在0,k上的最大值M.例8（分类讨论，区间划分）已知函数3211()(0)32fxxaxxba,'()fx为函数()fx的导函数.(1)设函数f(x)的图象与x轴交点为A,曲线y=f(x)在A点处的切线方程是33yx,求,ab的值;(2)若函数()'()axgxefx,求函数()gx的单调区间.例9（切线）设函数axxf2)(.（1）当1a时，求函数)()(xxfxg在区间]1,0[上的最小值；（2）当0a时，曲线)(xfy在点)))((,(111axxfxP处的切线为l，l与x轴交于点)0,(2xA求证：axx21.例10（极值比较）已知函数22()(23)(),xfxxaxaaexR其中aR⑴当0a时，求曲线()(1,(1))yfxf在点处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m⑵当23a时，求函数()fx的单调区间与极值.例11（零点存在性定理应用）已知函数()ln,().xfxxgxe⑴若函数φ(x)=f(x)－11xx，求函数φ(x)的单调区间；⑵设直线l为函数f(x)的图象上一点A(x0，f(x0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g(x)相切．例12（最值问题，两边分求）已知函数1()ln1afxxaxx()aR.1xxGothedistance第3页共36页⑴当12a≤时，讨论()fx的单调性；⑵设2()24.gxxbx当14a时，若对任意1(0,2)x，存在21,2x，使12()()fxgx≥，求实数b取值范围.例13（二阶导转换）已知函数xxfln)(⑴若)()()(RaxaxfxF，求)(xF的极大值；⑵若kxxfxG2)]([)(在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.例14（综合技巧）设函数1()ln().fxxaxaRx⑴讨论函数()fx的单调性；⑵若()fx有两个极值点12,xx，记过点11(,()),Axfx22(,())Bxfx的直线斜率为k,问：是否存在a，使得2ka？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.②交点与根的分布例15（切线交点）已知函数323,fxaxbxxabR在点1,1f处的切线方程为20y．⑴求函数fx的解析式；⑵若对于区间2,2上任意两个自变量的值12,xx都有12fxfxc，求实数c的最小值；⑶若过点2,2Mmm可作曲线yfx的三条切线，求实数m的取值范围．例16（根的个数）已知函数xxf)(，函数xxfxgsin)()(是区间[-1，1]上的减函数.（I）求的最大值；（II）若]1,1[1)(2xttxg在上恒成立，求t的取值范围；（Ⅲ）讨论关于x的方程mexxxfx2)(ln2的根的个数．例17（综合应用）已知函数.23)32ln()(2xxxf⑴求f(x)在[0,1]上的极值；⑵若对任意0]3)(ln[|ln|],31,61[xxfxax不等式成立，求实数a的取值范围；⑶若关于x的方程bxxf2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.③不等式证明例18(变形构造法)已知函数1)(xax，a为正常数．⑴若)(ln)(xxxf，且a29，求函数)(xf的单调增区间；Gothedistance第4页共36页⑵在⑴中当0a时，函数)(xfy的图象上任意不同的两点11,yxA，22,yxB，线段AB的中点为),(00yxC，记直线AB的斜率为k，试证明：)(0xfk．⑶若)(ln)(xxxg，且对任意的2,0,21xx，21xx，都有1)()(1212xxxgxg，求a的取值范围．例19(高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数)0)(ln()(2aaxxxf.（1）若2)('xxf对任意的0x恒成立，求实数a的取值范围；（2）当1a时，设函数xxfxg)()(，若1),1,1(,2121xxexx，求证42121)(xxxx例20（绝对值处理）已知函数cbxaxxxf23)(的图象经过坐标原点，且在1x处取得极大值．（I）求实数a的取值范围；（II）若方程9)32()(2axf恰好有两个不同的根，求)(xf的解析式；（III）对于（II）中的函数)(xf，对任意R、，求证：81|)sin2()sin2(|ff．例21（等价变形）已知函数xaxxfln1)(()aR．（Ⅰ）讨论函数)(xf在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若函数)(xf在1x处取得极值，对x),0(,2)(bxxf恒成立，求实数b的取值范围；（Ⅲ）当20eyx且ex时，试比较xyxyln1ln1与的大小．例22（前后问联系法证明不等式）已知217()ln,()(0)22fxxgxxmxm，直线l与函数(),()fxgx的图像都相切，且与函数()fx的图像的切点的横坐标为1。（I）求直线l的方程及m的值；（II）若()(1)'()()hxfxgx其中g'(x)是g(x)的导函数，求函数()hx的最大值。（III）当0ba时，求证：()(2).2bafabfaa例23(整体把握，贯穿全题)已知函数ln()1xfxx．（1）试判断函数()fx的单调性；（2）设0m，求()fx在[,2]mm上的最大值；（3）试证明：对任意*nN，不等式11ln()ennnn都成立（其中e是自然对数的底数）．例24(化简为繁，统一变量)设aR,函数()lnfxxax.（Ⅰ）若2a，求曲线()yfx在1,2P处的切线方程；（Ⅱ）若()fx无零点,求实数a的取值范围；（Ⅲ）若()fx有两个相异零点12,xx,求证:212xxe.例25（导数与常见不等式综合）已知函数211()()1(1)tfxtxxx，其中为正常数．Gothedistance第5页共36页（Ⅰ）求函数()tfx在(0,)上的最大值；（Ⅱ）设数列{}na满足：153a，132nnaa，（1）求数列{}na的通项公式na；（2）证明：对任意的0x，231()(*)nnfxnNa；（Ⅲ）证明：2121111nnaaan．例26（利用前几问结论证明立体不等式）已知函数f(x)=ex-ax(e为自然对数的底数).(I)求函数f(x)的单调区间；(II)如果对任意],2[x，都有不等式f(x)x+x2成立，求实数a的取值范围；(III)设*Nn,证明：nn)1(+nn)2(+nn)3(+…+nnn)(1ee例27已知函数21(0)2fxaxxca.若函数fx满足下列条件:①10f;②对一切实数x,不等式21122fxx恒成立.(Ⅰ)求函数fx的表达式;(Ⅱ)若21ftat2（x）对1,1x,1,1a恒成立,求实数t的取值范围;(Ⅲ)求证:*1112()122nnNfffnn.例28（数学归纳法）已知函数()ln(1)fxxmx，当0x时，函数()fx取得极大值.（１）求实数m的值；（２）已知结论：若函数()ln(1)fxxmx在区间(,)ab内导数都存在，且1a，则存在0(,)xab，使得0()()()fbfafxba.试用这个结论证明：若121xx，函数121112()()()()()fxfxgxxxfxxx，则对任意12(,)xxx，都有()()fxgx；（３）已知正数12,,,n，满足121n