2015年上海市长宁区高考数学理科一模试题

1开始结束是否A＜35A←1A←2A+1打印2014学年第一学期长宁区高三数学教学质量检测试卷（理）考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸的相应编号的空格内填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是___________________.2．若集合2{|||2},{|30}MxxNxxx，则M∩N_______________.3．复数221ii=______________.（i是虚数单位）4．已知数列na的前n项和542nnS，则其通项公式为5.已知214732lim6752nannn，则a6.已知3,2,1,1,2,3,ba且ba，则复数biaz对应点在第二象限的概率为._______（用最简分数表示）7．已知函数()1logafxx，1()yfx是函数()yfx的反函数，若1()yfx的图象过点(2,4)，则a的值为._________8．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是.9．根据右面的框图，打印的最后一个数据是.10．已知数列{}na是以2为公差的等差数列，nS是其前n项和，若7S是数列nS中的唯一最大项，则数列{}na的首项1a的取值范围是.11．五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是.212.已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2226tan5bcaacB，则sinB的值是。13.如图，在ABC△中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点MN，，若ABmAM，ACnAN，则mn的值为．14.已知52315xx的展开式中的常数项为T，()fx是以T为周期的偶函数，且当[0,1]x时，()fxx，若在区间[1,3]内，函数()()gxfxkxk有4个零点，则实数k的取值范围是．二．选择题(本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分．15．设z1、z2∈C,则“z21+z22=0”是“z1=z2=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16．函数,01,10xbyaab的图象为（）ABCD17.O是△ABC所在平面内的一点，且满足()(2)0OBOCOBOCOA，则△ABC的形状一定是（）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.斜三角形18.下面有五个命题：①函数44sincosyxx的最小正周期是2；②终边在y轴上的角的集合是,2kkz；③在同一坐标系中，函数sinyx的图象和函数yx的图象有一个公共点；BAONCM3④把函数的图象得到的图象向右平移xyxy2sin36)32sin(3；⑤在ABC中，若coscosaBbA，则ABC是等腰三角形；其中真命题的序号是（）A．（1）（2）（3）B．（2）（3）（4）C．（3）（4）（5）D．（1）（4）（5）三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必须的步骤．19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图：三棱锥ABCP中，PA底面ABC，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为3．若M是BC的中点，求：（1）三棱锥ABCP的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．20．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）已知8,tancot23（1）求tan的值；（2）求sin22的值。21．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）已知函数nxnxxf2)2()(2的图像与x轴正半轴的交点为)0,(naA，n=1，2，3，…．(1)求数列na的通项公式；(2)令nbnnanan(2)1(31为正整数）,问是否存在非零整数,使得对任意正整数n，都有nnbb1？若存在,求出的值,若不存在,请说明理由．MABCP422.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数cxaxxf21)(2（a、Rc），满足0)1(f，且0)(xf在Rx时恒成立．（1）求a、c的值；（2）若41243)(2bbxxxh，解不等式0)()(xhxf；（3）是否存在实数m，使函数mxxfxg)()(在区间]2,[mm上有最小值5？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．23.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知数列{}{}{}nnnabc、　、　满足*11()()().nnnnnaabbcnN(1)设36,{}nncna是公差为3的等差数列.当11b时,求23bb、的值;(2)设32,8.nncnann求正整数,k使得一切*,nN均有;nkbb(3)设1(1)2,.2nnnncna当11b时,求数列{}nb的通项公式.52014学年第一学期高三数学教学质量检测试卷参考答案（理）一、填空题1、22、]2,0[3、i24、Nnnnann,2,21,325、286、1037、48、0609、6310、)14,12(11、6112、5313、214、]41,0(二、选择题题号15161718答案BCCC三、解答题19、[解]（1）因为PA底面ABC，PB与底面ABC所成的角为3所以3PBA………2分因为2AB，所以32PB…………4分2324433131PASVABCABCP………………6分（2）连接PM，取AB的中点，记为N，连接MN，则ACMN//所以PMN为异面直线PM与AC所成的角………………7分计算可得：13PN，1MN，15PM………………9分101515213151cosPMN………………11分异面直线PM与AC所成的角为1015arccos………………12分20、【解】（1）由条件得到03tan8tan32，………………2分解得31tan或者3tan………………4分2，.3tan………………6分（2）54tan1tan12cos)22sin(22………………2分+2分+2分=6分21、（理）【解】：（1）设0)(xf，02)2(2nxnx得nxx21,2。所以nan…………………………………………………………………………4分（2）nnnnb2)1(31，若存在0，满足nnbb1恒成立即：nnnnnn2)1(32)1(3111，………………………………6分611)1()23(nn恒成立……………………………………………………8分当n为奇数时，1)23(n1………………………………………10分当n为偶数时，1)23(n23…………………………………12分所以123………………13分，故：1………………………14分22、【解】（1）由0)1(f，得21ca，………………1分因为0)(xf在Rx时恒成立，所以0a且△0441ac，161ac，………………2分即16121aa，0161212aa，0412a，所以41ca．……………4分（2）由（1）得412141)(2xxxf，由0)()(xhxf，得02212bxbx，即021)(xbx，………………7分所以，当21b时，原不等式解集为)21,(b；当21b时，原不等式解集为),21(b；当21b时，原不等式解集为空集．………………10分（3）412141)(2xmxxg，………………11分)(xg的图像是开口向上的抛物线，对称轴为直线12mx．假设存在实数m，使函数)(xg在区间]2,[mm上有最小值5．①当mm12，即1m时，函数)(xg在区间]2,[mm上是增函数，所以5)(mg，即54121412mmm，解得3m或37m，因为1m，所以3m；………………13分②当212mmm，即11m时，函数)(xg的最小值为5)12(mg，即541)12(21)12(412mmm，解得22121m或22121m，均舍去；………………15分③当212mm，即1m时，)(xg在区间]2,[mm上是减函数，所以5)2(mg，即541)2(21)2(412mmm，解得221m或221m，因1m，所以221m．………………17分7综上，存在实数m，3m或221m时，函数)(xg在区间]2,[mm上有最小值5．………………18分23、【解】(1)113,2nnnnaabbn,………………2分1231,4,8bbb………………4分(2)由3112727nnnnnaanbbn,………………5分由104nnbbn,即456bbb;………………7分由104nnbbn,即1234bbbb………………9分4k.………………10分(3)由1111(1)(1)(2)nnnnnnnaabbn,………………11分故1*1(1)(21)(2,)nnnnbbnnnN,12121213212121,(1)(22),,(1)(22),(1)(21)nnnnnnnnbbbbbbnbbn………………13分当*2()nkkN时,以上各式相加得1221122(2)(2222)[12(2)(1)]1(2)2nnnnnbbnn2232nn2225132323nnnnnb………………15分当*21()nkkN时,111221213(1)(2)1(2)32326nnnnnnnnnbbnn………………17分213,32625,323nnnnbn(21)(2)nknk,*()kN………………18分