2016版高考数学大二轮总复习-增分策略-专题二-函数与导数-第3讲-导数及其应用试题

1第3讲导数及其应用1．(2015·湖南)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数D．偶函数，且在(0,1)上是减函数2．(2014·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(－∞，－2)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)3．(2014·辽宁)当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A．[－5，－3]B．[－6，－98]C．[－6，－2]D．[－4，－3]4．(2013·安徽)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2.若f(x1)＝x1x2，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为()A．3B．4C．5D．61.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值最值是高考的常见题型.热点一导数的几何意义1．函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同．2例1(1)(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________________________________________________________________________.(2)(2015·泸州市质量诊断)设函数f(x)＝ax3＋3x，其图象在点(1，f(1))处的切线l与直线x－6y－7＝0垂直，则直线l与坐标轴围成的三角形的面积为()A．1B．3C．9D．12思维升华(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．跟踪演练1在平面直角坐标系xOy中，设A是曲线C1：y＝ax3＋1(a0)与曲线C2：x2＋y2＝52的一个公共点，若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，则实数a的值是________．热点二利用导数研究函数的单调性1．f′(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.2．f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性．例2(2015·重庆)设函数f(x)＝3x2＋axex(a∈R)．(1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．3思维升华利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)0或f′(x)0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．跟踪演练2(1)函数f(x)＝12x2－lnx的单调递减区间为()A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)(2)若函数f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax在[23，＋∞)上存在单调递增区间，则a的取值范围是________．热点三利用导数求函数的极值、最值1．若在x0附近左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值．2．设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．例3设函数f(x)＝px－px－2lnx，g(x)＝2ex，其中p0.(1)若f(x)在其定义域内是单调增函数，求实数p的取值范围；(2)若在[1，e]上存在点x0，使得f(x0)g(x0)成立，求实数p的取值范围；(3)若在[1，e]上存在点x1，x2，使得f(x1)g(x2)成立，求实数p的取值范围．思维升华(1)求函数f(x)的极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的4左右函数值的符号．(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解．(3)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．跟踪演练3已知函数f(x)＝lnx＋ax－a2x2(a≥0)．(1)若x＝1是函数y＝f(x)的极值点，求a的值；(2)若f(x)0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．1．已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为()A．eB．－eC.1eD．－1e2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则ab的值为()A．－23B．－2C．－2或－23D．2或－233．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－alnx在(1,2)上为增函数，则a的值等于________．4．已知函数f(x)＝x－1x＋1，g(x)＝x2－2ax＋4，若任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是__________．提醒：完成作业专题二第3讲5二轮专题强化练专题二第3讲导数及其应用A组专题通关1.若函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能为()2．(2015·云南第一次检测)函数f(x)＝lnx－2xx的图象在点(1，－2)处的切线方程为()A．2x－y－4＝0B．2x＋y＝0C．x－y－3＝0D．x＋y＋1＝03．(2015·福建)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)＞k＞1，则下列结论中一定错误的是()A．f1k＜1kB．f1k＞1k－1C．f1k－1＜1k－1D．f1k－1＞kk－14．设f(x)＝13x3＋ax2＋5x＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a的取值范围为()A．[－5，＋∞)B．(－∞，－3]C．(－∞，－3]∪[－5，＋∞)D．[－5，5]5．已知a≤1－xx＋lnx对任意x∈[12，2]恒成立，则a的最大值为()A．0B．1C．2D．36．(2015·陕西)函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．67．若函数f(x)＝ax＋1x＋2在x∈(2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．8．已知函数f(x)＝4lnx＋ax2－6x＋b(a，b为常数)，且x＝2为f(x)的一个极值点，则a的值为________．9．(2015·重庆)已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－43处取得极值．(1)确定a的值；(2)若g(x)＝f(x)ex，讨论g(x)的单调性．10．已知函数f(x)＝x28－lnx，x∈[1,3]．(1)求f(x)的最大值与最小值；(2)若f(x)4－at对任意的x∈[1,3]，t∈[0,2]恒成立，求实数a的取值范围．B组能力提高11．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．20B．18C．3D．012．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围为________．13．设函数f(x)＝aex(x＋1)(其中，e＝2.71828…)，g(x)＝x2＋bx＋2，已知它们在x＝0处有相同的切线．(1)求函数f(x)，g(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[t，t＋1](t－3)上的最小值；(3)若对∀x≥－2，kf(x)≥g(x)恒成立，求实数k的取值范围．7学生用书答案精析第3讲导数及其应用高考真题体验1．A[易知函数定义域为(－1,1)，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)＝ln1＋x1－x＝ln－1－2x－1，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0,1)上是增函数．故选A.]2．B[f′(x)＝3ax2－6x，当a＝3时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，则当x∈(－∞，0)时，f′(x)0；x∈(0，23)时，f′(x)0；x∈(23，＋∞)时，f′(x)0，注意f(0)＝1，f(23)＝590，则f(x)的大致图象如图1所示．不符合题意，排除A、C.图1当a＝－43时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当x∈(－∞，－32)时，f′(x)0，x∈(－32，0)时，f′(x)0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)0，注意f(0)＝1，f(－32)＝－54，则f(x)的大致图象如图2所示．不符合题意，排除D.图2]3．C[当x＝0时，ax3－x2＋4x＋3≥0变为3≥0恒成立，即a∈R.当x∈(0,1]时，ax3≥x2－4x－3，a≥x2－4x－3x3，8∴a≥x2－4x－3x3max.设φ(x)＝x2－4x－3x3，φ′(x)＝x－x3－x2－4x－x2x6＝－x2－8x－9x4＝－x－x＋x40，∴φ(x)在(0,1]上递增，φ(x)max＝φ(1)＝－6，∴a≥－6.当x∈[－2,0)时，a≤x2－4x－3x3，∴a≤x2－4x－3x3min.仍设φ(x)＝x2－4x－3x3，φ′(x)＝－x－x＋x4.当x∈[－2，－1)时，φ′(x)0，当x∈(－1,0)时，φ′(x)0.∴当x＝－1时，φ(x)有极小值，即为最小值．而φ(x)min＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a≤－2.综上知－6≤a≤－2.]4．A[f′(x)＝3x2＋2ax＋b；由已知x1，x2是方程3x2＋2ax＋b＝0的不同两根，当f(x1)＝x1x2时，作y＝x1，y＝x2与f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有三个不同交点．即方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有三个不同实根．]热点分类突破例1(1)1(2)B解析(1)f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝1＋3a，f(1)＝a＋2.(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(1＋3a)(x－1)．将(2,7)代入切线方程，得7－(a＋2)＝(1＋3a)，9解得a＝1.(2)f′(x)＝3ax2＋3，由题设得f′(1)＝－6，所以3a＋3＝－6，a＝－3.所以f(x)＝－3x3＋3x，f(1)＝0，切线l的方程为y－0＝－6(x－1)，即y＝－6x＋6.所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S＝12×1×6＝3.选B.跟踪演练14解析设A(x0，y0)，则C1在A处的切线的斜率为f′(x0)＝3ax20，C2在A处的切线的斜率为－1kOA＝－x0y0，又C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，所以(－x0y0)·3ax20＝－1，即y0＝3ax30，又ax30＝y0－1，所以y0＝32，代入C2：x2＋y2＝52，得x0＝±12，将x0＝±12，y0＝32代入y＝ax3＋1(a0)，得a＝4.例2解(1)对f(x)求导得f′(x)＝x＋ax－x2＋axxx2＝－3