福建省厦门市湖滨中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题-理

1厦门市湖滨中学2015---2016学年第二学期期中考高二数学（理）试卷本卷满分150分，考试时间120分钟A卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.复数212iiA．iB．iC．4355iD．4355i2.物体运动方程为4134St，则2t时瞬时速度为A．2B．4C．6D．83.下列推理所得结论正确的是A．由()abcabac类比得到log()loglogaaaxyxyB．由()abcabac类比得到sin()sinsinxyxyC．由()()abcabc类比得到()()xyzxyzD．由()nnnabab类比得到()nnnxyxy4.设()lnfxxx，若0'()2fx，则0xA．2eB．eC．ln22D．ln25.若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数z的共轭复数是A．2+iB．iC．iD．i6.已知函数32()(6)1fxxaxax有极大值和极小值，则实数a的取值范围是A．63aB．3a或6aC．21aD．1a或2a7.与椭圆2214924xy有公共焦点，且离心率54e的双曲线方程是A．221169xyB．221916xyC．221169yxD．221916yx8.若3()2fxxbx在(1,+)上是减函数，则b的取值范围是（）A．[3,)B．(3,)C．(,3]D．(,3)29.点P是曲线xxyln2上任意一点,则点P到直线2yx的距离的最小值是A．１B．2C．２D．2210.设函数()fx在R上可导，其导函数为()fx，且函数(1)()yxfx的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A．函数()fx有极大值(2)f和极小值(1)fB．函数()fx有极大值(2)f和极小值(1)fC．函数()fx有极大值(2)f和极小值(2)fD．函数()fx有极大值(2)f和极小值(2)f二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。）11.若223)(abxaxxxf在x＝1处有极值10，则ab=.12.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是.13.函数32()26fxxxm（m为常数）在2,2上有最大值2，那么此函数在2,2上最小值为.14.由曲线sinyx和cosyx，与直线0x，2x所围成的平面图形（图中阴影部分）的面积为.三、解答题：（本大题共3个小题，共分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤。）15.（本小题满分10分）在边长为2的正方体1111ABCDABCD中，E是BC的中点，F是1DD的中点，（1）求证：CF∥平面1ADE；（2）求二面角1EADA的平面角大小的余弦值.16.（本小题满分12分）已知数列na中，12,111nnaaa，（1）求5432,,,aaaa；（2）猜想na的表达式，并用数学归纳法加以证明.B1D1C1A1FEDCBA317．（本小题满分12分）边长为10cm的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒。（1）试把方盒的容积V,表示为x的函数；（2）x多大时，方盒的容器的容积最大？并求出最大容积.B卷四、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。）18.22765.（请在横线上填“”,””或“=”）19.已知双曲线122yx的左、右焦点分别是1F、2F，点P在双曲线上，且6021PFF，则||||21PFPF.20.过抛物线24yx的焦点F的直线交抛物线于,AB两点,点O是原点,若3AF，则AOB的面积为.21.已知xxflg)(，函数)(xf定义域中任意的)(,2121xxxx，有如下结论：①0(3)(3)(2)(2)ffff；②0(3)(2)(3)(2)ffff；③;0)()(2121xxxfxf④.2)()()2(2121xfxfxxf上述结论中正确结论的序号是.三、解答题：（本大题共3个小题，共分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤。）22.（本小题满分10分）已知函数xxxf)1ln()(.（1）求函数)(xf的单调递减区间；（2）若1,x求证：ln(1)xx423.（本小题满分12分）已知12,FF分别是椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点，过2(2,0)F与x轴垂直的直线交椭圆于点M，且23MF．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点(0,1)P，问是否存在直线l与椭圆交于不同的两点,AB，且AB的垂直平分线恰好过P点？若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．.24.（本小题满分12分）已知函数1()()2ln()fxaxxaxR．（1）若2a，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（2）求函数()fx的单调区间；（3）设函数()agxx．若至少存在一个0[1,e]x，使得00()()fxgx成立，求实数a的取值范围．5厦门市湖滨中学2015---2016学年第二学期期中考高二数学试题答案一、选择题：二、填空题：11．-712.4n+213.-3814.2118.19.420.32221.①③15.解：（1）分别以DA,DC,DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A1（2,0,2）,E(1,2,0),D(0,0,0),C(0,2,0),F(0,0,1),3分则12,0,2,1,2,0,DADE设平面A1DE的法向量是,,,nabc则122020nDAacnDEab，取2,1,2,n5分0,2,1CF,220,CFnCFn,所以，CF∥平面A1DE6分(也可取A1D中点M，连接MF、ME，证明FC∥ME即可)（2）0,2,0DC是面AA1D的法向量，1cos3DCnDCn8分二面角1EADA的平面角大小的余弦值为1310分16.4分（2）当n=1时a1=2^1-1=2-1=16分假设n=k时题号12345678910答案ADCABBACBDzyxABCDEFA1C1D1B16ak=2^k-1成立8分则当n=k+1时a(k+1)=2ak+1由a(n+1)=2an+1而得=2(2^k-1)+1=2*2^k-2+1=2^(k+1)-1所以当n=k+1时等式成立10分综上所以an=2^n-112分17．（1）2()(102),(0,5)Vxxxx4分（2）所以2()32025Vxxx，6分令()0Vx得125,53xx（舍去）8分当5(0,)3x时，()0Vx；当5(,5)3x时，()0Vx10分因此，53x是函数()Vx的极大值点，也是最大值点。所以，当53x时，无盖方盒的容积最大。12分2223、解：（1）由题意可得：，解得c=2，a=4，b2=12．7∴椭圆的标准方程为．5分（2）假设存在直线1与椭圆交于不同的两点A，B，且AB的垂直平分线恰好过P点．则直线l的斜率存在，设l方程为：y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点N（x0，y0）．联立，化为（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣48=0，7分△=64k2t2﹣4（3+4k2）（4t2﹣48）＞0，化为：12+16k2＞t2．∴x1+x2=，x1x2=．9分∴x0==，y0=kx0+t=．10分∴kPN==，∵PN⊥l，11分∴•k=﹣1，化为：t=﹣3﹣4k2．代入△＞0，可得12+16k2＞（﹣3﹣4k2）2．化为16k4+8k2﹣3＜0，解得：，即．因此存在直线1与椭圆交于不同的两点A，B，且AB的垂直平分线恰好过P点．直线l的斜率范围是．12分24：（Ⅰ）220xy；4分（Ⅱ）当0a时，()fx在(0,)上单调递减；5分当01a时，在211axa或211axa上单调递增，8在221111aaxaa上单调递减；6分当1a时，()fx在(0,)上单调递增；7分（Ⅲ）0a12分