广东省中山市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题-文

1中山市第一中学2015—2016学年度第二学期高二级第一次段考文科数学试题用最小二乘法求线性回归方程系数公式：1221ˆˆˆniiiniixynxybaybxxnx，第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题满分60分，每小题5分）1.在复平面内，复数121ii对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.数列2,5,11,20,,47,x中的x等于（）A．28B．32C．33D．273.根据右边程序框图，当输入10时，输出的是（）A．12B．14.1C．19D．-304.“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理（）A．小前提错B．结论错C．正确D．大前提错5.函数162131)(23xxxxf在区间)2,2(上（）A．单调递增B．单调递减C．先单调递增后单调递减D．先单调递减后单调递增6.已知回归直线斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是（）A.y=1.23x+0.08B.y=1.23x+5C.y=1.23x＋4D.参考公式：2y=0.08x+1.237.设,ab大于0，则1ab，1ba的值A．都大于2B．至少有一个不大于2C．都小于2D．至少有一个不小于28．已知命题p：“1x”，命题q：“11x”，则p是q的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件9.双曲线222214xyaa(0)a的离心率为A.5B．52C．2D．310.若0,0ba，且函数224)(23bxaxxxf在1x处有极值，则ab的最大值等于（）A．3B．6C．9D．211．把正整数按下图所示的规律排序，则从2003到2005的箭头方向依次为B12．设数列{}na的前n项和为nS，令12nnSSSTn，称nT为数列1a，2a，……，na的“理想数”，已知数列1a，2a，……，500a的“理想数”为2004，那么数列2，1a，2a，……，500a的“理想数”为（）A．2002B．2004C．2008D．2000第II卷（共90分）3二、填空题（本题满分20分，每小题5分）13.某工程的工序流程如图所示，现已知工程总时数为10天，则工序c所需工时为天.14.若“,xR使2220xax”是假命题，则实数a的范围.15.在极坐标系中，直线sin()24，被圆=4截得的弦长为.16.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个正方形的某顶点在另一个正方形的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为42a．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个正方体的某顶点在另一个正方体的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．三、解答题：（本题满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（本小题满分10分）某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应数据：（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；（3）要使这种产品的销售额突破一亿元(含一亿元)，则广告费支出至少为多少百万元？（结果精确到0.1，参考数据：2×30＋4×40＋5×50＋6×60＋8×70=1390）。18．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为13cos23sinxtyt（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为x24568y304050607087654321amcbdfegn143320104极轴）中，直线l的方程为2sin()()4mmR．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．19．（本小题满分12分）（1）已知复数1zi，且233zazbi，求实数,ab的值；（2）解不等式：2142xx．20.（本小题满分12分）（1）用分析法证明不等式：6572；（2）用综合法证明不等式：若1abc，则13abbcac．21．（本小题满分13分）已知函数21()ln2fxxx.（1）求)(xf的单调区间；（2）求证：1x时，32()3fxx22．（本小题满分13分）已知椭圆C:22221(0)xyabab的焦点分别为1(3,0)F、2(3,0)F，P为椭圆C上任一点，21PFPF的最大值为1.（1）求椭圆C的方程；（2）已知点(1,0)A，试探究是否存在直线:lykxm与椭圆C交于D、E两点，且使得||||ADAE？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.517．（本小题满分10分）某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应数据：（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；（3）要使这种产品的销售额突破一亿元(含一亿元)，则广告费支出至少为多少百万元？（结果精确到0.1，参考数据：2×30＋4×40＋5×50＋6×60＋8×70=1390）。解：（1）散点图如下：x24568y304050607062017届高二下学期期中考试数学（文科）参考答案第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题满分60分，每小题5分）题号123456789101112答案BBBCBADBACBA第II卷（共90分）二、填空题（本题满分20分，每小题5分）13．4；14．[2,2]；15．43；16.83a三、解答题：（本题满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．解：（1）散点图如下图所示：（2）5,50xy，521145iix，511390iiixy，51522215139055507145555()iiiiixyxybxx，507515aybx，所求回归直线方程为715yx（3）依题意，有715100,12.1,xx所以广告费支出至少为12.1百万元．………………………10分18．解：（1）圆C的普通方程为：22(1)(2)9xy；……………………3分直线l的直角坐标方程0xym．……………………6分8分3分7（2）圆心(1,2)C到直线l的距离1(2)3222mmd………8分322m……………………10分19．解：（1）1zi，且233zazbi2(1)(1)33iaibi即()(2)33abaii323aba因此1,4ab………………………………6分（2）当12x时，原不等式等价于(21)(4)2xx解得7x，所以此时的解集为(,7)；当142x时，原不等式等价于(21)(4)2xx解得53x，所以此时的解集为5(,4]3；当4x时，原不等式等价于(21)(4)2xx解得3x，所以此时的解集为(4,)；综上所述，原不等式的解集为55(,7)(,4](4,)(,7)(,)33．………………………………12分20.证明（1）：65和72都是正数，所以要证6572，只需证22(65)(72).展开得112301147.只需证3027，只需证3028.而3028显然成立，所以6572成立．……………………6分（2）∵a＋b＋c＝1，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1又∵a2＋b2＝2ab，b2＋c2＝2bc，c2＋a2≥2ca.∴将以上三个不等式相加，得2（a2＋b2＋c2）≥2（ab＋bc＋ca），∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.8∴1＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥ab＋bc＋ca＋2ab＋2bc＋2ca＝3（ab＋bc＋ca）.∴ab＋bc＋ca≤13.………………………………12分21．解：函数的定义域为),0(，2'1()(0)xfxxx.（1）由0)('xf得，1x，即)(xf在(1,)上是增函数.由0)('xf得，01x.)(xf在(0,1)上是减函数.所以，)(xf的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)．………………6分（2）令xxxxgln2132)(23，xxxxxg)12)(1()(2'当1x时，0)('xg，即)(xg在),1(上是增函数，故)1()(gxg，即061ln213223xxx，3232ln21xxx.………………………………13分22．解：(1)设(,)Pxy,由1(3,0)F、2(3,0)F得1(3,)PFxyuuur,2(3,)PFxyuuur.∴212(3)(3)PFPFxxyuuuruuur223xy，---------------------2分由22221xyab得2222(1)xyba∴222122(1)3xPFPFxbauuuruuur22233xba，------------------------3分∵220xa，∴当22xa，即xa时，12PFPFuuuruuur有最大值，即212max()331PFPFbuuuruuur，---------------------------------------4分9∴21b，2224acb，∴所求双曲线C的方程为2214xy.--------------------------------6分（2）假设存在直线l满足题设，设1122(,),(,)DxyExy，将ykxm代入2214xy并整理得222(14)8440kxkmxm，----------------------------------------7分由222222644(14)(44)16(41)0kmkmmk，得2241km-----①又122814kmxxk--------------------9分由||||ADAE可得2222112212121212(1)(1)()(2)()()0xyxyxxxxyyyy121212122()0yyxxyyxx212(1)()220kxxkm228(1)22014kmkkmk化简得2143kmk------------②--------------------------------11分将②代入①得2221441()3kkk化简得42222010(41)(51)0kkkk，解得55k或55k10所以存在直线l，使得||||ADAE，此时k的取值范围55(,)(,)55．--------------------------------------13分