2016年高考数学-热点题型和提分秘籍-专题14-定积分与微积分基本定理-理(含解析)新人教A版

-1-2016年高考数学热点题型和提分秘籍专题14定积分与微积分基本定理理（含解析）新人教A版【高频考点解读】1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；2.了解微积分基本定理的含义．【热点题型】题型一定积分的计算【例1】(1)设f(x)＝x2，x∈[0，1]，2－x，x∈（1，2]，则02f(x)dx等于()A.34B.45C.56D．不存在(2)定积分039－x2dx的值为________．(3)－11e|x|dx＝________．【答案】(1)C(2)9π4(3)2e－2【解析】-2-【提分秘籍】(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．(3)若y＝f(x)为奇函数，则－aaf(x)dx＝0.若f(x)为偶函数，则－aaf(x)dx＝20af(x)dx.【举一反三】(1)定积分－11(x2＋sinx)dx＝________．(2)定积分02|x－1|dx＝________．【答案】(1)23(2)1【解析】-3-题型二利用定积分求平面图形面积【例2】如图所示，求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3，0)处的切线所围成图形的面积．【解析】-4-【提分秘籍】利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．【举一反三】(1)如图所示，曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1及y＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为()A.23B.13C.12D.14(2)曲线y＝x2与直线y＝kx(k0)所围成的曲边图形的面积为43，则k＝________．-5-【答案】(1)D(2)2【解析】题型三定积分在物理中的应用【例3】一物体作变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在12s～6s间的运动路程为________．【答案】494m【解析】-6-【提分秘籍】定积分在物理中的两个应用：(1)求物体做变速直线运动的位移，如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝abv(t)dt.(2)变力做功，一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝abF(x)dx.【举一反三】设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1的方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________J(x的单位：m，力的单位：N)．【答案】342【解析】由题意知变力F(x)对质点M所做的功为110(x2＋1)dx＝13x3＋x101＝342(J)．【高考风向标】【2015高考陕西，理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．【答案】1.2【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：-7-【2015高考湖南，理11】20(1)xdx.【答案】0.【解析】0)21()1(22200xxdxx.【2015高考天津，理11】曲线2yx与直线yx所围成的封闭图形的面积为.【答案】16【解析】在同一坐标系内作出两个函数的图象，解议程组2yxyx得两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1)，由图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积1122300111236Sxxdxxx.xy-8-21.510.50.511.522.543211234（2014·福建卷）如图1­4，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．图1­4【答案】.2e2【解析】（2014·湖北卷）若函数f(x)，g(x)满足－11f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝sin12x，g(x)＝cos12x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是()-9-A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】（2014·湖南卷）已知函数f(x)＝sin(x－φ)，且∫2π30f(x)dx＝0，则函数f(x)的图像的一条对称轴是()A．x＝5π6B．x＝7π12C．x＝π3D．x＝π6【答案】A【解析】因为∫2π30f(x)dx＝0，即∫2π30f(x)dx＝－cos(x－φ)2π30＝－cos2π3－φ＋cosφ＝0，可取φ＝π3，所以x＝5π6是函数f(x)图像的一条对称轴．（2014·江西卷）若f(x)＝x2＋201f(x)dx，则01f(x)dx＝()A．－1B．－13C.13D．1【答案】B【解析】01f(x)dx＝01x2＋201f（x）dxdx＝13x3＋201f（x）dxx10＝13＋201f(x)dx，-10-得01f(x)dx＝－13.（2014·山东卷）直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.22B.42C.2D.4【答案】D【解析】（2014·陕西卷）定积分01(2x＋ex)dx的值为()A．e＋2B．e＋1C．eD．e－1【答案】C【解析】01(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)10＝(12＋e1)－(02＋e0)＝e.（2013·北京卷）直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A.43B．2C.83D.1623【答案】C【解析】由题意得直线l的方程是y＝1，代入抛物线方程得x＝±2，所以直线l与抛物线C所围成图形的面积S＝4－202x24dx＝4－2x31220)＝83.（2013·福建卷）当x∈R，|x|1时，有如下表达式：1＋x＋x2＋…＋xn＋…＝11－x.两边同时积分得：∫1201dx＋∫120xdx＋∫120x2dx＋…＋∫120xndx＋…＝∫12011－xdx，从而得到如下等式：1×12＋12×122＋13×123＋…＋1n＋1×12n＋1＋…＝ln2.-11-请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：C0n×12＋12C1n×122＋13C2n×123＋…＋1n＋1Cnn×12n＋1＝__________．【答案】1n＋132n＋1－1【解析】（2013·湖北卷）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋251＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5B．8＋25ln113C．4＋25ln5D．4＋50ln2【答案】C【解析】令v(t)＝0，得3t2－4t－32＝0，解得t＝4t＝－83舍去，求定积分得行驶距离为s＝04v(t)dt＝047－3t＋251＋tdt＝7t－32t2＋25ln(1＋t))40＝4＋25ln5，选C.（2013·湖南卷）若0Tx2dx＝9，则常数T的值为________．【答案】3【解析】由积分运算公式可得0Tx2dx＝13x3T0＝13T3＝9，解得T＝3.（2013·江西卷）若S1＝12x2dx，S2＝121xdx，S3＝12exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A．S1S2S3B．S2S1S3-12-C．S2S3S1D．S3S2S1【答案】B【解析】S1＝13x3)21＝73，S2＝lnx)21＝ln2，S3＝ex)21＝e2－e，易知S2S1S3，故选B.【高考押题】1．由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为()A.12B．1C.32D.3【答案】D【解析】由题意知＝32－－32＝3.2．若1a2x＋1xdx＝3＋ln2(a1)，则a的值是()A．2B．3C．4D．6【答案】A【解析】3．若S1＝12x2dx，S2＝121xdx，S3＝12exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A．S1S2S3B．S2S1S3C．S2S3S1D．S3S2S1【答案】B-13-∵e2－e＝e(e－1)＞e＞73＞ln2，∴S2＜S1＜S3.4．由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()A.103B．4C.163D．6【答案】C【解析】5．已知函数f(x)＝sin(x－φ)，且f(x)dx＝0，则函数f(x)的图象的一条对称轴是()A．x＝5π6B．x＝7π12C．x＝π3D．x＝π6【答案】A-14-【解析】6．设a0，若曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________．【解析】【答案】497.如图所示，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．【答案】43【解析】由y＝－x2＋2x＋1，y＝1，得x1＝0，x2＝2.∴S＝02(－x2＋2x＋1－1)dx＝02(－x2＋2x)dx-15-8．汽车以v＝3t＋2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的路程是________m.【答案】6.5【解析】＝32×4＋4－32＋2＝10－72＝132(m)．9．已知f(x)在R上可导，f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，试求03f(x)dx的值．【解析】10．求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积．【解析】作出曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x的图象，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组y＝x2，y＝x，得交点(1，1)，解方程组y＝x2，y＝3x，得交点(3，9)，因此，所求图形的面积为S＝01(3x－x)dx＋13(3x－x2)dx＝012xdx＋13(3x－x2)dx＝x210＋32x2－13x331-16-＝1＋32×32－13×33－32×12－13×13＝133.