整体思想在解二元一次方程组

整体思想在解二元一次方程组中的应用整体思想在解二元一次方程组中的应用求解一元二次方程时，用代入消元法或是加减消元法，将二元消元为一元。在运用消元法时，对于有些问题，不是从局部着手，而是从大处着眼，从整体上观察，探求解题途径，这种数学思想方法叫整体探求思想，在《二元一次方程组》中，体现这种思想方法的地方很多．在平常遇到方程组求解时，先从全局观察，再动手求解，可以在一定程度上训练我们“大处着眼，小处着手”的战略眼光，对今后高中数学学习，以至工作中都会有所帮助。例1已知x、y满足方程组则x－y的值为________.分析：观察题目特点，我们发现可以把原来的两个方程相减，就能够得到所要求的结果．解：把原来的两个方程相减得：，故，答案应该填写1．点评：本题是把x－y作为一个整体来处理，解答起来要比解这个方程组，求出x、y的值，再带入x－y计算求值省时，快速，简便．例2解方程组②①.2196,823yxyx分析此题应抓住6x是3x的2倍，利用方,42,52yxyx1yx程①的3x=8-2y，从而整体代入方程②，经消元求解，使解法简洁.解由①，得3x=8-2y.③把③代入②，得2（8-2y）+9y=21.∴y=1.把y=1代入③，得3x=8-2.∴x=2，∴.1,2yx练习：1.解方程组531542153yxyx分析：方程组中的系数成倍数关系，适宜把①中的整体代入②，先求出x的值，再求出y的值．解：由①得5y=21-3x③把③代入②，得4x+3（21-3x）=534x+63-9x=53，-5x=-10x=2把x=2代入③，得5y=21-6y=3∴原方程组的解是32yx2.解方程组56137+181.xyxy，①②解：由①，得6135yx，将其代入②，得7+3(13-5)1xx，解得5x．把5x代入③，得61355y，解得2y．所以原方程组的解为52xy．例3解方程组②①.3112137,3273721yxyx分析此题数字较大，直接运用代入法或加减法，都会遇到复杂的计算，且容易出错.仔细观察各未知数的系数，第一个方程组的x，y的系数，刚好是第二个方程中y和x的系数，故可采用整体相加减，使系数绝对值变小，得到一个新的简易的方程.解①+②，得58x+58y=638.即x+y=11.③②-①，得16x-16y=-16，即x-y=-1.④③+④，得2x=10，∴x=5.③-④，得2y=12，∴y=6.∴.6,5yx例4解方程组7233()17.23xyxyxyxy，①②分析：本题直接解方程组比较复杂，观察方程组中方程的特点，如果把2xy，3xy看成整体，先求出它们的值，计算量会较小，也不容易出错。为此，我们先把方程变得简单．设2xy=A，3xy=B，则原方程组化为7317.ABAB，解得52.AB，即522.3xyxy，，整理，得106.xyxy，解得82.xy，练习：1.解方程组11541378yxyx分析：方程组中x、y的系数和相等，可以把两式相加减解：①+②得12x+12y=24，即x+y=2③①-②得4x+2y=2，即2x+y=1④④-③得x=-1，把x=-1代入③得y=3∴原方程组的解是31yx2.解方程组201220132013?,201320122012?.xyxy①②分析:两方程中未知数的系数较大，若采用通常的消元法计算量很大，观察方程组的形式，可发现系数有轮换、对称的特点，且和相等，因此可采用整体相加或相减的办法，化简系数，寻找隐含的x、y的关系.解:①+②，化简得:x+y=1③，①-②，化简得:x-y=-1④，③+④，化简得：x=0，把x=0代入③得y=1.所以原方程组的解为0,1.xy3.已知方程组则x+y的值等于______________.分析：本题可用“代入法”或“加减法”求得x、y的值，但细心观察②×2+①，可发现x、y上的系数相同.因此可不求x、y的值而利用整体思想直接解得x+y的值.解:②×2+①，得6833,26.xyxy①②10x+10y=45，所以x+y=4.5.4.解方程组分析：从形式上看这个方程组比较复杂，应先将每一个方程都进行化简，化成二元一次方程组的一般形式，然后再选择代入法或加减法。但是通过观察可以发现，两个未知数出现的形式只有（x+y）和（x-y）两种，可以把它们分别看成一个整体，利用换元法解。解：设a=x+y,b=x-y原方程化为解得所以,解得5.解方程组分析：方程组中的系数成整数倍，②可以通过变形构造出x-y，且x-y的系数互为相反数，162143yxyxyxyx162143baba135ba135yxyx3134yxyxyxyxyx3153)(43)(3)(2可以把两式相互加减解：由②得4（x+y）+3（x-y）=15③，①+③得x+y=3④，把④代入①，得x-y=1⑤④+⑤得x=2，④-⑤得y=1∴原方程组的解是例5如果关于m、n的二元一次方程组（Ⅰ）152163bnmanm的解是.1,7nm请你用合理的方法求关于x，y的二元一次方程组（Ⅱ）3()()162()()15xyaxyxybxy的解.分析通过观察后发现方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）中对应的系数分别相等，若把（Ⅱ）中的x+y和x-y分别看成整体，可知x+y和x-y的值分别与m，n的值相等，从而求得方程组的解.解把方程组（Ⅱ）中的x+y和x-y分别看成整体，根据方程组（Ⅰ）的解是.1,7nm可得1,7yxyx∴3,4yx12yx例6已知方程组373,4104.xyzxyz①②求x+y+z的值.分析：本题是一个三元一次方程组，依据条件不能分别求出x、y、z的值，因此可探究方程中每项未知数系数的特点，从整体上考虑解决的办法.解:①×3，②×2，得92139,22028.xyzxyz①②③-④得x+y+z=1.练习1.已知5x+4y=9，且3x+8y=11.求代数式2x+3y的值；2.已知a-2b=5，求15—3a+6b的值.分析：1.中两个方程没有联立方程组，不易观察，可联立方程组利用整体思想探寻特征巧妙解题.2.中可对所求代数式进行变形，整体代入.解:1.联立方程组，得5493811.xyxy①，②①+②，得8x+12y=20化简得2x+3y=5.故代数式2x+3y的值为5.2.原式=15-(3a-6b)=15-3(a-2b)，由a-2b=5，所以原式=15-3×5=0.3.如果2x+3y+z=130，3x+5y+z=180，求zyxyx2的值．解：将x+2y、x+y+z看作整体，已知条件变形为180)()2(2130)()2(zyxyxzyxyx解得80502zyxyx则zyxyx2=85例7有A、B两种型号的U盘，其中2个A型U盘与3个B型U盘最多可存储60GB的信息，5个A型U盘与6个B型U盘最多可存储150GB的信息，求3个A型U盘与5个B型U盘最多可存储多少GB的信息？分析：本题可根据题意设未知数列方程组，在解方程组的过程中发现解决问题的办法.解:设1个A型U盘最多可存储xGB的信息，1个B型U盘最多可存储yGB的信息，根据题意得2360,56150.xyxy①②①×7-②，得9x+15y=270，化简得3x+5y=90.故3个A型U盘与5个B型U盘最多可存储90GB的信息.例8有甲、乙、丙三种货物，若买甲5件，乙2件，丙4件，一共需80元；若买甲3件，乙6件，丙4件，一共需144元，现在需购买甲、乙、丙各一件共需多少元？分析：本题可根据题意设未知数列三元一次方程组，但由题中条件只能找到两种等量关系，因此不可能一一求得三个未知数的值，需考虑整体代入探求结果.解:设购买一件甲需x元，一件乙需y元，一件需丙z元，根据题意得52480,364144.xyzxyz①②①+②，得8x+8y+8z=224，所以x+y+z=28.故购买甲、乙、丙各一件共需28元.练习：1.有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需元钱．分析：我们可以通过设元，构建三元一次方程组来解答．设购买甲、乙、丙三种商品分别需要x元、y元和z元，要想求出购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少元钱，我们可以运用整体的思想求出x+y+z的值就可以得到正确答案．解：设购买甲、乙、丙三种商品分别需要x元、y元和z元，那么，根据题意，可以得到：3x+2y+z=315x+2y+3z=285，解得：x+y+z=150.因此，可以填写答案是150元．2.有这样一个问题：今有四数，取其三个而相加，其和分别为22，22，26和20，求此四数各几何？部分学生读不懂题意，但大部分学生是列出了方程组，却不知该如何求解.如果能灵活运用整体思想，此题便能轻松求解.解若设此四数分别为a，b，c，d，则根据题意可列出方程组④③②①.20,26,22,22dcbdcadbacba①+②+③+④，得3(a+b+c+d)=90.∴a+b+c+d=30.⑤⑤-①，得d=8，⑤-②，得c=8，⑤-③，得b=4，⑤-④，得a=10，∴所求的四数分别为10，4，8，8.总之，在解二元一次方程组的有关问题时，“代入法”和“加减法”是解方程常用的方法，有时根据题目的形式特征及方程组系数的特点，采用整体思想，灵活代入或加减，可巧妙求出未知量，达到简单、快捷的效果.但同时也要注意具体问题具体分析，切不可生搬硬套.