高一数学任意角的三角函数知识点

1任意角的三角函数1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(,)xy，它与原点的距离为2222(||||0)rrxyxy，那么（1）比值𝛼叫做α的正弦，记作sin，即sinyr；（2）比值xr叫做α的余弦，记作cos，即cosxr；（3）比值yx叫做α的正切，记作tan，即tanyx；（4）比值xy叫做α的余切，记作cot，即cotxy；说明：①α的始边与x轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)Pxy在α的终边上的位置的改变而改变大小；③当()2kkZ时，α的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，所以tanyx无意义；同理当()kkZ时，yxcot无意义；④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值yr、xr、yx、xy分别是一个确定的实数。正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。当角的终边上一点(,)Pxy的坐标满足221xy时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。有向线段：带有方向的线段。2．三角函数线的定义：2设任意角的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P(,)xy，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点(1,0)A作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点T.由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段,OMxMPy，于是有sin1yyyMPr，cos1xxxOMr，tanyMPATATxOMOA我们就分别称有向线段,,MPOMAT为正弦线、余弦线、正切线。说明：（1）三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值。（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。（Ⅳ）（Ⅱ）（Ⅰ）（Ⅲ）3题型一：求解三角函数值一般角：利用三角函数的定义特殊角：先化为0至360度之间的角)Z(tan)2tan()Z(cos)2cos()Z(sin)2sin(kkkkkk例1．求下列各角的四个三角函数值：（1）0；（2）；（3）32．例2．已知角α的终边经过点(2,3)P，求α的四个函数值。变式训练1：已知角α的终边过点(,2)(0)aaa，求α的四个三角函数值。变式训练2：角的终边上有一点P（a，a），a∈R，a≠0，则sin的值是()A.22B.－22C.22或－22D.1例3．求下列三角函数的值：（1）9cos4（2）11tan()6，4变式训练1：.____________tan600o的值是D3.D3.C33.B33.A题型二：判断三角函数值在不同象限内的正负性例4．确定下列三角函数值的符号：（1）cos250；（2）sin()4；（3）tan(672)；（4）11tan3．变式训练1：.________,0cossin在则若θθθB第二、四象限第一、四象限第一、三象限第一、二象限.D.C.B.A变式训练2：____0sin20cos的终边在则若θθ，且C第二象限第四象限第三象限第一象限.D.C.B.A变式训练3：若θ是第二象限角，则()A.sin＞0B.cos＜0C.tan＞0D.cot＜0变式训练4：若角、β的终边关于y轴对称，则下列等式成立的是()A.sin=sinβB.cos=cosβC.tan=tanβD.cot=cotβ变式训练5：sin2·cos3·tan4的值()A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在例5．求函数xxxxytantancoscos的值域5变式训练1：若xxsin|sin|+|cos|cosxx+xxtan|tan|=－1，则角x一定不是()A.第四象限角B.第三象限角C.第二象限角D.第一象限角例6．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。（1）3；（2）56；（3）23；（4）136．课上练习：1.有下列命题：①终边相同的角的三角函数值相同；②同名三角函数的值相同的角也相同；③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相同；④不相等的角，同名三角函数值也不相同.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.32.若角的终边经过P（－3，b），且cos=－53，则b=_________，sin=_________.3.在（0，2π）内满足x2cos=－cosx的x的取值范围是_________.4.已知角的终边在直线y=－3x上，则10sin+3cos=_________.65.已知点P（tan，cos）在第三象限，则角的终边在第_________象限.6.计算65sin，413cos，43sin，32sin，7.解答题：(1）若点(6,)Pt是角终边上的一点，且满足0t，3cos5，求sin，tan的值（2）已知角的终边上有一点(3,4)(0)Pttt，求sin,cos,tan的值；