2012高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题 算法初步与复数（教师版）

算法初步与复数一、高考预测算法是新课标高考的独有内容，从近年来课标地区的高考看，这是试卷中一个必备的试题，试题以选择题或填空题的方式出现，主要考查程序框图和基本算法语句．预计2012年变化不大．复习算法要抓住如下要点：一是程序框图的三种基本逻辑结构，即顺序结构、条件分支结构和循环结构，搞清楚这三种基本逻辑结构的功能和使用方法，特别要注意循环结构的功能和使用方法，在复习时建议结合具体题目掌握好一些常见的计算问题的程序框图，如二分法求方程近似解的程序框图、一些数列求和的程序框图、一元二次不等式解的程序框图等；二是理解基本算法语句的含义，搞清楚条件语句与条件分支结构的对应关系、循环语句与循环结构的对应关系，在此基础上学会对一些简单问题的程序编写．复数是高考的一个考点，主要考查复数的概念和代数形式的四则运算，一般是一个选择题，位置靠前，难度不大．预计2012年会继续这个考查风格．复数的内容就是概念、运算和简单的几何意义，复习时只要把概念弄清，运算法则掌握好，并把复数和向量的关系弄清楚即可．二、知识导学2．算法是离不开具体的数学问题的，算法试题往往要依托其他数学问题来实现，算法可以和函数求值、方程求解、不等式求解、数列求和、统计量计算等问题相互交汇．3．复数部分的考点就是复数的概念、复数相等的充要条件、复数代数形式的四则运算，其考查带有综合性．要注意复数相等的充要条件中必须把两个复数都化为“标准的代数形式”．三、易错点点睛命题角度1复数的概念2．z=i11的共轭复数是（）A．21+21iB．21-21IC．1-iD．1+i[考场错解]选C∵z=i11=1+i.∴z为纯虚数为1-i[专家把脉]z=i11=1+i是错误的，因为（1-i）(1+i)=1-(i)2-z≠1[对症下药]选B∵z=i11=.212121)1)(1(1iiiii∴z=i11的共轭复数是21-21i。3．已知复数z1=3+4i，z2=t+i,,且21zz是实数，则实数t=（）A．43B．34C．-34D．-43[考场错解]选C∵z1·2z∈R2121zzzz=0。即（3+4i）(t-i)+(3-4i)(t+i)=0t=-34.[专家把脉]∵z∈Rz=z.z为纯虚数z+z=0(z≠0)因此上面解答应用的是Z为纯虚数的充根条件，因而求出的t是z12z为纯虚数的结果，显然是错误的。[对诊下药]解法1：z12z=（3+4i）(t-i)=(3-4i)(t+i)∵z12z为实数，∴4t-3=0，t=43.解法2：∵z12z∈R，∴z12z=21zz∴（3+4i）(t-i)=(3-4i)(t+i)（3t+4）+(4t-3)i=(3t+4)+(3-4t)i4t-3=3-4tt=43.专家会诊1．深刻理解复数、实数、虚数、纯虚数、模、辐角、辐角主值、共轭复数的概念和得数的几何表示——复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点（a、b）及向量OP是一一对应的，在对概念的理解时要善于利用数形结合的思想，如纯虚数与虚轴上的点对应，实数与实轴上的点对应，复数的模表示复数对应的点到原点的距离。2．要善于掌握化虚为实的转化方法，即设复数z=a+bi(a,b∈R)，但有时给许多问题的求解带来不必要的运算困难，而若把握复数的整体性质运用整体运算的思想方法，则能事半功倍，同时要注意复数几何意义的应用。命题角度2复数的代数形式及运算解法2：.1)2)((22221223iiiiiiiiii2．复数ii31)31(5的值是（）A．-16B．16C．-41D．8-8i3[考场错解]选D。∵iiiiiii3884)31(2311231])2321[(231)31(535535355选D。[对症下药]选A。原式=).2321(16222)2()2321(2)2321(255555i令3满足条件|z-i|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆[考场错解]选A。由|z-i|=|3+4i|知z在复平面上对应的图形是点（0，1）和（3，4）的垂直平分线。[专家把脉]上面解答把条件看成|z-i|=|z-(3+4i)|.这类型题应用复数的代数形式z=x+yi(x,y∈R)代入计算才能确定答案。[对症下药]选C。设z=x+yi(x,y∈R)代入|z-i|=|3+4i|中计算得,5)1(22yx即x2+(y-1)2=25.∴z的轨迹是表示以（0，1）为圆心，以5为半径的圆，选C。[专家把脉]以上解答错在两边取模的计算，因为|z1+z2|=|z1|+|z2|，只有当z1=λz2（λ∈R+）时成立，而从题设条件中是无法得到这一条件的。[对症下药]原方程化简为|z|2+（1-i）z-（1+i）z=1-3i.设z=x+yi(x,y∈R),代入上述方程得：x2+y2-2xi-2yi=1-3i∴)2(322)1(122yxyx将（2）代入（1），整理得8x2-12x+5=0(*)∵△=-160,∴方程（*）无实数解。∴原方程在复数范围内无解。命题角度3流程图[例1]已知三个单元存放了变量x，y，z的值，试给出一个算法，顺次交换x，y，z的值（即y取x的值，z取y的值，x取z的值），并画出流程图.错解：第一步xy第二步yz第三步zx流程图为图13-1-3S1取一只空的墨水瓶，设其为白色；S2将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中；S3将蓝墨水瓶中的黑墨水装入黑瓶中；S4将白瓶中的蓝墨水装入蓝瓶中；S5交换结束.点评：在计算机中，每个变量都分配了一个存储单元，为了达到交换的目的，需要一个单元存放中间变量p.[例2]已知三个数a，b，c.试给出寻找这三个数中最大的一个算法，画出该算法的流程图.解：流程图为点评：条件结构可含有多个判断框，判断框内的内容要简明、准确、清晰.此题也可将第一个判断框中的两个条件分别用两个判断框表示，两两比较也很清晰.若改为求100个数中的最大数或最小数的问题则选择此法较繁琐，可采用假设第一数最大（最小）将第一个数与后面的数依依比较，若后面的数较大（较小），则进行交换，最终第一个数即为最大（最小）值.点评：求和时根据过程的类同性可用循环结构来实现，而不用顺序结构.[例3]画出求222222100994321的值的算法流程图.解：这是一个求和问题，可采用循环结构实现设计算法，但要注意奇数项为正号，偶数项为负号.思路一：采用-1的奇偶次方（利用循环变量）来解决正负符号问题；图13-1-6图13-1-7思路二：采用选择结构分奇偶项求和；图13-1-8思路三：可先将222222100994321化简成1991173，转化为一个等差数列求和问题，易利用循环结构求出结果.[例4]设计一算法，求使20063212222n成立的最小正整数n的值.解：流程图为图13-1-9[例5]任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判断.解：算法为：S1判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n2，则执行S2S2依次从2～n-1检验是不是的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数.点评：要验证是否为质数首先必须对质数的本质含义作深入分析：（1）质数是只能被1和自身整除的大于1的整数.（2）要判断一个大于1的整数n是否为质数，只要根据定义，用比这个整数小的数去除n.如果它只能被1和本身整除，而不能被其它整数整除，则这个数便是质数.图13-1-10[例6]设计一个求无理数2的近似值的算法.解：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005,算法:S1令2)(2xxf.因为0)2(,0)1(ff,所以设2,121xxS2令2)(21xxm,判断)(mf是否为0,若是,则m为所求;若否,则继续判断)()(1mfxf大于0还是小于0.S3若)()(1mfxf0,则mx1;否则,令mx2.S4判断005.021xx是否成立，若是，则21,xx之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步.点评：二分法求方程近似解的算法是一个重要的算法案例，将在第三节中详细阐述.命题角度4基本算法语句1.下列程序的运行结果是.9X8YIfX5Then7YYIfX4Then6YYIfX3Then6YYPrintY正解：这里是有三个条件语句，各个条件语句是独立的，三个条件均成立，所以按顺序依次执行，结果为8+7+6+6=27.2.下面的程序运行时输出的结果是（）1IWhile5I0S1IIIISSEndwhilePrintSEnd[例4]用语句描述求使10007531n成立的最大正整数n的算法过程.解：1n1TWhile1000T2nnnTTEndwhilePrint2n[例5]已知当100100x时，1xy，当100x时，4y，当100x时，4xy，设计一算法求y的值.解：ReadxIf100100xthen1xyElseif100xThen4xyElse4yEndifEnd四、典型习题导练1.1、复数21ii的虚部为.【解析】：21ii+1313=1222iiiii（2）（1+）复数21ii的虚部为322、若复数11zi，21zi，则12zzA．iB．1C．iD．13、复数31ii（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】iiiii1113，故选B.4、设1zi（i是虚数单位），则2zzA．22iB．22iC．3iD．3i【解析】22(1)221ziizi5、巳知i是虚数单位，若（），则乘积(A)-3(B)-15(C)3(D)15【解析】17132ixyiii，所以1,3,3xyxy.答案：A6、若izi123，则zA.1522iB.1522iC.i2521D.1522i【解析】由于32(32)(1)3232151(1)(1)222iiiiiziiii.故选C.8、已知ibiia3，其中Rba,，i为虚数单位，则ba。【解析】将等式两边都乘i，得到biia13，两边比较得结果为49、现定义cossiniei其中i为虚数单位，e为自然对数的底，R且实数指数幂的运算性质对ie都适用，若4452325505sincossincoscosCCCa，145cossinbC3235cossinC555sinC，那么复数bia等于A．5sin5cosiB．5sin5cosiC．5cos5siniD．5cos5sini【解析】（cossiniei其实为欧拉公示）051455coscossinabiCCi23232355cossincossinCCi445555cossinsinCCi0514232232335555coscossincossincossinCCiCiCi44455555cossinsinCiCi555cossincos5sin5iiieei【答案】A10、某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是A．－8B．－2C．－1D．0【解析】1i，0x，1y；2i，1x，0y；3i，1x，1y；4i跳出程序．∴2xy．【答案】B11、在如图所示的流程图中，若输入n的值为11，则输出A的值为。【解析】：经计算A值是以31,3,2为循环