中档大题规范练1 三角函数

中档大题规范练中档大题规范练1三角函数1.(2016·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝a24，求角A的大小.(1)证明由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B).又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.(2)解由S＝a24得12absinC＝a24，故有sinBsinC＝12sinA＝12sin2B＝sinBcosB，由sinB≠0，得sinC＝cosB.又B，C∈(0，π)，所以C＝π2±B.当B＋C＝π2时，A＝π2；当C－B＝π2时，A＝π4.综上，A＝π2或A＝π4.2.(2016·北京)已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f(x)的单调递增区间.解(1)f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＝222sin2ωx＋22cos2ωx＝2sin2ωx＋π4，由ω＞0，f(x)的最小正周期为π，得2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f(x)＝2sin2x＋π4，令－π2＋2kπ≤2x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－3π8＋kπ≤x≤π8＋kπ，k∈Z，即f(x)的单调递增区间为－3π8＋kπ，π8＋kπ(k∈Z).3.已知函数f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1，x∈R.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移π4个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的最大值及取得最大值时x的集合.解(1)f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－π4)，令2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8(k∈Z)，故函数f(x)的单调递增区间为[kπ－π8，kπ＋3π8](k∈Z).(2)由已知，得g(x)＝2sin(x＋π4)，∴当sin(x＋π4)＝1，即x＋π4＝2kπ＋π2(k∈Z)，也即x＝2kπ＋π4(k∈Z)时，g(x)max＝2.∴当{x|x＝2kπ＋π4(k∈Z)}时，g(x)的最大值为2.4.(2016·四川)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosAa＋cosBb＝sinCc.(1)证明：sinAsinB＝sinC；(2)若b2＋c2－a2＝65bc，求tanB.(1)证明根据正弦定理，可设asinA＝bsinB＝csinC＝k(k0)，则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC.代入cosAa＋cosBb＝sinCc中，有cosAksinA＋cosBksinB＝sinCksinC，变形可得sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B).在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.所以sinAsinB＝sinC.(2)解由已知，b2＋c2－a2＝65bc，根据余弦定理，有cosA＝b2＋c2－a22bc＝35.所以sinA＝1－cos2A＝45.由(1)，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以45sinB＝45cosB＋35sinB.故tanB＝sinBcosB＝4.5.已知向量m＝(3sinx，cosx)，n＝(cosx，cosx)，x∈R，设f(x)＝m·n.(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a＝1，b＋c＝2，f(A)＝1，求△ABC的面积.解(1)f(x)＝m·n＝3sinxcosx＋cos2x＝32sin2x＋12cos2x＋12＝sin(2x＋π6)＋12，由－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，可得，－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间为[－π3＋kπ，π6＋kπ]，k∈Z.(2)∵f(A)＝1，∴sin(2A＋π6)＝12，∵0Aπ，∴π62A＋π613π6，∴2A＋π6＝5π6，∴A＝π3.由a2＝b2＋c2－2bccosA，得1＝b2＋c2－2bccosπ3＝4－3bc，∴bc＝1，∴S△ABC＝12bcsinA＝34.