2011年高考一轮课时训练(理)4.2导数在研究函数中的应用 (通用版)

第二节导数在研究函数中的应用题号12345答案一、选择题1．(2009年广州一模)设f()x、g()x是R上的可导函数，f′()x、g′()x分别为f()x、g()x的导函数，且f′()xg()x＋f()xg′()x0，则当axb时，有()A．f()xg()bf()bg()xB．f()xg()af()ag()xC．f()xg()xf()bg()bD．f()xg()xf()ag()a2．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()3．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)0，对于任意实数x都有f(x)≥0，则f1f′0的最小值为()A．3B.52C．2D.324.(2009年韶关调研)已知函数f(x)的定义域为[－2,4]，且f(4)＝f(－2)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如下图所示．则平面区域a≥0b≥0f2a＋b1所围成的面积是()A．2B．4C．5D．85．(2009年天津重点学校二模)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时不等式f(x)＋xf′(x)＜0成立，若a＝30.3f(30.3)，b＝(logπ3)f(logπ3)，c＝log319flog319，则a，b，c的大小关系是()A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．c＞a＞bD．a＞c＞b二、填空题6．函数f(x)＝x2－2lnx的单调减区间是________．7．若f(x)＝－12x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．8．有一个长度为5m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4m时，梯子上端下滑的速度为________．三、解答题9．已知函数f(x)＝12x2＋lnx－1.(1)求函数f(x)在区间[1，e](e为自然对数的底)上的最大值和最小值；(2)求证：在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝23x3的图象的下方．(3)(理)求证：[f′(x)]n－f′(xn)≥2n－2(n∈N*)．10．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)．(1)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值；(2)若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是递增的，求a的取值范围．参考答案1．C2.D3．解析：f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b0对于任意实数x都有f(x)≥0得a0，b2－4ac≤0，∴b2≤4ac，∴c0，f1f′0＝a＋b＋cb＝a＋cb＋1≥2acb＋1≥1＋1＝2，当取a＝c时取等号．答案：C4．B5.C6．解析：首先考虑定义域(0，＋∞)，由f′(x)＝2x－2x＝2x2－1x≤0及x0知0x≤1.答案：(0,1]7．解析：由题意可知f′(x)＝－x＋bx＋20在x∈(－1，＋∞)上恒成立，即bx(x＋2)在x∈(－1，＋∞)上恒成立，由于x≠－1，所以b≤－1.答案：(－∞，－1]8．解析：设经时间t秒梯子上端下滑s米，则s＝5－25－9t2，当下端移开1.4m时，t0＝1.43＝715，又s′＝－12(25－9t2)－12·(－9·2t)＝9t125－9t2，所以s′(t0)＝9×715·125－9×7152＝0.875(m/s)．答案：0.875(m/s)9．解析：(1)∵f′(x)＝x＋1x，当x∈[1，e]时，f′(x)0.∴函数f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)max＝f(e)＝12e2，f(x)min＝f(1)＝－12.(2)证明：令F(x)＝f(x)－g(x)＝12x2＋lnx－1－23x3则F′(x)＝x＋1x－2x2＝x2＋1－2x3x＝1－x1＋x＋2x2x.∵当x1时F′(x)0，∴函数F(x)在区间(1，＋∞)上为减函数，∴F(x)F(1)＝12－1－230，即在(1，＋∞)上，f(x)g(x)．∴在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝23x3的图象的下方．(3)(理)证明：∵f′(x)＝x＋1x，当n＝1时，不等式显然成立；当n≥2时，∵[f′(x)]n－f′(xn)＝x＋1xn－xn＋1xn＝C1nxn－2＋C2nxn－3＋…＋Cn－1n1xn－2，①[f′(x)]n－f′(xn)＝Cn－1n1xn－2＋Cn－2n1xn－3＋…＋C1nxn－2，②①＋②得[f′(x)]n－f′(xn)＝12xn－2＋1xn－2C1n＋xn－3＋1xn－3C2n＋…＋xn－2＋1xn－2Cn－1n≥C1n＋C2n＋…＋Cn－1n＝2n－2(当且仅当x＝1时“＝”成立)．∴当n≥2时，不等式成立．综上所述得[f′(x)]n－f′(xn)≥2n－2(n∈N＋)．10．解析：(1)由原式得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，∴f′(x)＝3x2－2ax－4.由f′(－1)＝0得a＝12，此时有f(x)＝(x2－4)x－12，f′(x)＝3x2－x－4.由f′(x)＝0得x＝43或x＝－1，当x在[－2,2]变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表：x(－2，－1)－1－1，434343，2f′(x)＋0－0＋f(x)递增极大值92递减极小值－5027递增∵f(x)极小＝f43＝－5027，f(x)极大＝f(－1)＝92，又f(－2)＝0，f(2)＝0，所以f(x)在[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027.(2)法一：f′(x)＝3x2－2ax－4的图象为开口向上且过点(0，－4)的抛物线，由条件得f′(－2)≥0，f′(2)≥0，即4a＋8≥08－4a≥0，∴－2≤a≤2.所以a的取值范围为[－2,2]．法二：令f′(x)＝0即3x2－2ax－4＝0，由求根公式得：x1,2＝a±a2＋123(x1x2)，所以f′(x)＝3x2－2ax－4在(]－∞，x1和[)x2，＋∞上非负．由题意可知，当x≤－2或x≥2时，f′(x)≥0，从而x1≥－2，x2≤2，即a2＋12≤a＋6a2＋12≤6－a.，解不等式组得：－2≤a≤2.即a的取值范围是[－2,2]．