2017年全国初中数学联合竞赛试题含答案

2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知实数a,b,c满足2a13b3c90，3a9bc72，则3bc＝（）a2bA.2．B.1．C.0．D.1．【答】B.已知等式可变形为2(a2b)3(3bc)90，3(a2b)(3bc)72，解得a2b18，3bc18，所以3bc1.a2b2．已知△ABC的三边长分别是a,b,c，有以下三个结论：（1）以a,b,c为边长的三角形一定存在；（2）以a2,b2,c2为边长的三角形一定存在；（3）以|ab|1,|bc|1,|ca|1为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为（）A．0．B．1．C．2．D．3．【答】C.不妨设abc，则有bca.（1）因为bca，所以bc222bca，故以a,b,c为bca，即(bc)（a），即边长的三角形一定存在；（2）以a2,b3,c4为边长可以构成三角形，但以a24,b29,c216为边长的三角形不存在；（3）因为abc，所以|ab|1ab1,|bc|1bc1,|ca|1ac1，故三条边中|ca|1大于或等于其余两边，而（|ab|1）（|bc|1）（ab1）（bc1）=ac11ac1|ca|1，故以|ab|1，|bc|1，|ca|1为边长的三角形一定存在.3．若正整数a,b,c满足abc且abc2(abc)，则称(a,b,c)为好数组.那么，好数组的个数为（）A.1．B．2．C．3．D．4．【答】C.若(a,b,c)为好数组，则abc2(abc)6c，所以ab6.显然，a只能为1或2.若a＝2，由ab6可得b2或3，b2时可得c4，b3时可得c52（不是整数）；若a＝1，则bc2(1bc)，于是可得(b2)(c2)6，可求得(a,b,c)＝（1，3，8）或（1，4，2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共7页）5）.综合可知：共有3个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）.4．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若BADACB180，且BC3，AD4，AC5，AB6，则DO＝（）OB10864A.．B.．C.．D.．D9753E【答】A.C过B作BE//AD，交AC的延长线于点E，则ABE180BADACB，所以△ABC∽△AEB，所以ACBC，所以4O3ABEBABBC6318BEB.A6AC55再由BE//AD，得DOAD410.BEOB18955．设A是以BC为直径的圆上的一点，ADBC于点D，点E在线段DC上，点F在CB的延长线上，满足BAFCAE.已知BC15，BF6，BD3，则AE＝（）AA.43．B.213．C.214．D.215．【答】B.FBDEC如图，因为BAFCAE，所以BAFBAECAEBAE，即63FAEBAC90.又因为ADBC，故AD2DEDFDBDC.而DFBFBD639，DCBCBD15312，所以AD2DE9312，所以AD6，DE4.从而AEAD2DE26242213.6．对于正整数n，设a是最接近的整数，则1111（n）na1a2a3a200A.191．B.192．C.193．D.194．7777【答】A.对于任意自然数k，(k1)2k2k1不是整数，所以，对于正整数n，1一定不是整数.n242的整数，则|m|1，m1.设m是最接近nn2易知：当m1时，|m|1(m1)2n(m1)2m2m1nm2m1.n22244于是可知：对确定的正整数m，当正整数n满足m2m1nm2m时，m是最接近的整数，n即anm.所以，使得an＝m的正整数n的个数为2m.注意到1321318220014214210，因此，a,a,,a中，有：2个1，4个2，6个3，122002017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页（共7页）8个4，……，26个13，18个14.所以1111214161261181191.aaaa12313147123200二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．使得等式11a3a成立的实数a的值为_______．【答】8.由所给等式可得(11a)3a2.令x1a，则x0，且ax21，于是有(1x)3(x21)2，整理后因式分解得x(x3)(x1)20，解得x0，x3，x1（舍去），所以a1或a8.123验证可知：a1是原方程的增根，a8是原方程的根.所以，a8.AD2．如图，平行四边形ABCD中，ABC72，AFBC于点F，AFM交BD于点E，若DE2AB，则AED＝_______．【答】66.BE取DE的中点M，在Rt△ADE中，有AMEM1DEAB.FC2设AED，则AME1802，ABM18.又ABMAMB，所以180218，解得66.3．设m,n是正整数，且mn.若9m与9n的末两位数字相同，则mn的最小值为．【答】10.由题意知，9m9n9n(9mn1)是100的倍数，所以9mn1是100的倍数，所以9mn的末两位数字是01，显然，mn是偶数，设mn2t（t是正整数），则9mn92t81t.计算可知：812的末两位数字是61，813的末两位数字是41，814的末两位数字是21，815的末两位数字是01.所以t的最小值为5，从而可得mn的最小值为10.4．若实数x,y满足x3y33xy1，则x2y2的最小值为．1【答】2.因为0x3y33xy1(xy)3(1)33x2y3xy23xy(xy1)[(xy)2(xy)(1)(1)2]3xy(xy1)2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页（共7页）(xy1)(x2y2xyxy1)12(xy1)[(xy)2(x1)2(y1)2]，所以xy1或xy1.若xy1，则x2y2＝2.若xy1，则x2y212[(xy)2(xy)2]12[1(xy)2]12，当且仅当xy12时等号成立.所以，x2y2的最小值为12.第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知二次函数yax2bxc(c0)的图象与x轴有唯一交点，则二次函数ya3x2b3xc3的图象与x轴的交点个数为（）A．0．B．1．C．2．D．不确定．【答】C.因为二次函数yax2bxc的图象与x轴有唯一交点，所以1b24ac0，所以b24ac0.故二次函数ya3x2b3xc3的判别式2(b3)24a3c3b6161(4ac)3b6161(b2)31615b60，所以，二次函数ya3x2b3xc3的图象与x轴有两个交点.2．题目和解答与（A）卷第1题相同.3.题目和解答与（A）卷第3题相同.4．已知正整数a,b,c满足a26b3c90，6ab2c0，则a2b2c2＝（）A.424．B.430．C.441．D.460．【答】C.由已知等式消去c整理得(a9)23(b1)275，所以3(b1)275，又b为正整数，所以1b6.若b＝1，则(a9)275，无正整数解；若b＝2，则(a9)272，无正整数解；若b＝3，则(a9)263，无正整数解；若b＝4，则(a9)248，无正整数解；若b＝5，则(a9)227，无正整数解；若b＝6，则(a9)20，解得a9，此时c18.2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共7页）因此，a9，b＝6，c18，故a2b2c2＝441.5．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若BADACB180，且BC3，AD4，AC5，AB6，则DO＝（）OBA.4．B.6．C.8．D.10．3579【答】D.解答过程与（A）卷第4题相同.6．题目和解答与（A）卷第5题相同.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．题目和解答与（A）卷第1题相同.2．设O是锐角三角形ABC的外心，D,E分别为线段BC,OA的中点，ACB7OED，ABC5OED，则OED＝_________.A【答】10.如图，设OEDx，则ABC5，xACB7x，DOCBAC18012x，AOC10x，所以AOD1802x，ODE180x(1802x)x，所以ODOE1OA1OC，所22B以DOC60，从而可得x10.3.题目和解答与（A）卷第3题相同.4.题目和解答与（A）卷第4题相同.EODC第二试（A）一、（本题满分20分）已知实数x,y满足xy3，111，求x5y5的值.xy2x2y2解由111可得2(xyx2y2)x3y3x2y2xy.xy2x2y2设xyt，则x2y2(xy)22xy92t，x3y3(xy)[(xy)23xy]3(93t)，代入上式可得2(392t)3(93t)t2t，解得t1或t3.……………………10分当t3时，xy3，又xy3，故x,y是一元二次方程m23m30的两实数根，但易知此方程没有实数根，不合题意.……………………15分当t1时，xy1，又xy3，故x,y是一元二次方程m23m10的两实数根，符合题意.此时x5y5(x2y2)(x3y3)(xy)x2y2(92t)[3(93t)]3t2123.……………………20分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第5页（共7页）二（、本题满分25分）如图，△ABC中，ABAC，BAC45，E是BAC的外角平分线与△ABC的外接圆的交点，点F在AB上且EFAB.已知AF1，BF5，求△ABC的面积.解在FB上取点D，使FD＝AF，连接ED并延长，交△ABC的外接圆于点G.由EF⊥AD，AF＝FD知△AED是等腰三角形，所以∠AED＝1802∠EAD＝∠BAC，……………………10分EAFDCGB……………………15分所以AGBC，所以ACBG，所以AC＝BG.又∠BGE＝∠BAE＝∠ADE＝∠BDG，所以BG＝BD，所以AC＝BD＝5－1＝4，……………………20分△ABC的AB边上的高hACsin4522.所以，△ABC的面积S1ABh1626.22……………………25分22三、（本题满分25分）求所有的正整数数对(a,b)，使得a3493b8.解显然，493b8为奇数，所以a为奇数.又因为a3493b8493853，所以a5.……………………5分由a3493b8可得a38493b，即(a2)(a