指数函数和对数函数-课件PPT

指数函数和对数函数知识结构知识梳理专题探究即时巩固知识结构知识梳理指数函数、对数函数是重要的基本初等函数，是高中数学函数部分的主体内容，是历届高考的重点．本章是在初中学习了整数指数幂及运算性质的基础上，引入了分数指数幂的概念，然后将分数指数幂推广到实数指数幂，进而研究指数运算、指数函数的概念及图像性质；对数运算、对数函数的概念及其图像和性质．另外，函数的实际应用是新课标增添的内容．但它的研究思想方法，一直是高中数学的重点及难点之一，也是高考中常见题型．1．指数的有关概念与性质(1)有关概念根式：na叫根式，其中n叫根指数，a叫被开方数．n次方根：若xn＝a，则x叫a的n次方根，其中n1，n∈N＋.当n为正整数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根为一个负数；当n为正偶数时，正数的n次方根(偶次方根)有两个，它们互为相反数，其中正的n次方根为na，负的n次方根为－na，缩写成±na(a0)，负数的偶次方根在实数内无意义.0的正指数次幂为0.(2)有关性质①根式的基本性质：如果一个根式的被开方数是正数或者为0，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘或都除以同一个正整数，根式的值不变，即nan＝npamp(a≥0，n、p为大于1的正整数，m∈N＋)，用分数指数幂表示为amn＝amPnP.②有理指数幂的运算性质，同正整数指数幂的运算性质一样有：aαaβ＝aα＋β(a0，a≠1，α、β∈Q)；(aα)β＝aαβ(a0，a≠1，α、β∈Q)；(ab)α＝aαbα(a0，a≠1，b0，b≠1，α∈Q)．③0指数幂与负有理数指数幂的底数都必须大于0才有意义．图像0a1a12．指数函数的概念与性质(1)指数函数的定义一般地，函数y＝ax(a0，且a≠1)叫作指数函数．(2)y＝ax(a0，a≠1)的图像性质定义域(－∞，＋∞)值域(0，＋∞)过定点a0且a≠1，无论a取何值恒过点(0,1)各区间取值当x0时，0y1当x0时，y1当x0时，y1当x0时，0y1单调性定义域上单调递减定义域上单调递增(3)指数函数y＝ax(a0且a≠1)底数越大时，函数的图像在y轴右侧部分越远离x轴，这一性质可通过x＝1时的函数值大小去理解．如ab1c时，见函数图像(如图所示)3．对数的概念及相关性质(1)对数的定义如果a(a0，a≠0)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．(2)指数式与对数式的关系式子名称abN指数式ab＝N底数指数幂值对数式logaN＝b底数对数真数(3)对数的性质根据对数的定义，可以证明：loga1＝0，logaa＝1(a0，a≠1)，即1的对数为零，底的对数等于1.对数恒等式alogaN＝N(a0，a≠1，N0)．(4)常用对数和自然对数通常将以10为底的对数叫作常用对数，为了简便，N的常用对数log10N简记为lgN；在科学技术中常常使用无理数e＝2.71828…为底的对数，以e为底的对数叫作自然对数，为了简便，N的自然对数logeN简记作lnN.(5)对数的运算性质①loga(MN)＝logaM＋logaN(a0，a≠1，M0，N0)．②logaMN＝logaM－logaN(a0，a≠1，M0，N0)．③logaMn＝n·logaM(a0，a≠1，M0，n∈R)．④loganM＝1nlogaM(a0，a≠1，M0，n∈N＋，n1)．(6)对数换底公式logbN＝logaNlogab(a0，a≠1，b0，b≠1，N0)．利用对数换底公式可以将不同底数的对数化为同底数的对数，将一般的对数化为自然对数或常用对数便于查表和计算．a10a1都过(1,0)点都过(1,0)点在(1,0)点的右边的点的纵坐标都大于零在(1,0)点的右边的点的纵坐标都小于零在(1,0)点的左边的点的纵坐标都小于零在(1,0)点的左边的点的纵坐标都大于零图像自左向右上升图像自左向右下降(7)对数函数的图像及性质在学习本章时，要注意运用由特殊到一般，运用对比的方法，搞清几个意义相近概念的内涵，利用数形结合的思想方法来说明比较抽象的概念及性质．在知识的发生、发展过程中提高运用知识解决问题的能力．专题探究1.有关指数、对数的运算问题指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要问题类型，也是高考的必考内容．指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数运算，其次，若出现分式，则要注意分子、分母因式分解，以达到约分的目的，对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价．熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．基本题型归纳[例1](1)化简÷(1－23ba)×3ab；(2)求值：12lg3249－43lg8＋lg245.(2)解法一12lg3249－43lg8＋lg245＝lg427－lg4＋lg75＝lg(427×14×75)＝lg10＝12lg10＝12.解法二原式＝12(5lg2－2lg7)－43·32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12.2．函数图像与性质的应用指数函数、对数函数、幂函数是中学数学中重要的函数，它们的图像和性质是考查的重点，应熟练掌握图像的画法及形状，记熟性质，特别要注意指数函数与对数函数的底数在取不同值时，对图像和性质的影响．[例2]当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2logax恒成立，则a的取值范围是()A．(0,1)B．(1,2)C．(1,2]D．(0，12)[解析]如图所示：设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图像在f2(x)＝logax的下方即可，当0a1时显然不成立．当a1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2.∴loga2≥1，∴1a≤2，故选C.[答案]C3．数的大小比较问题比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，最基本的方法是将需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较．[例3]若a＝ln22，b＝ln33，c＝ln55，则()A．abcB．cbaC．cabD．bac[解析]解法1：a＝ln22＝12·ln2＝ln212，b＝ln33＝13·ln3＝ln313，c＝ln55＝ln515.∵(212)30＝215，(313)30＝310，(515)30＝56，而56215310，∴515212313.∴ln515ln212ln313.∴cab.∴故选C.解法2：a－b＝ln22－ln33＝3ln2－2ln36＝16(ln8－ln9)0.∴ab.同理可得ca，∴cab.故选C.[答案]C4．考查函数的定义域函数的定义域是历年高考中均考查的知识点，其难度不大，属中低档题，但在求解时易漏掉部分约束条件造成错解，因而也是易错题．[例4]函数f(x)＝3x21－x＋lg(3x＋1)的定义域是()A．(－13，＋∞)B．(－13，1)C．(－13，13)D．(－∞，－13)[解析]由题意，得1－x0，3x＋10，解得x1，x－13.∴－13x1，故选B.[答案]B5．考查函数的值域函数的值域或最值问题往往与单调性相关，而对数函数的单调性及应用是历年高考的重点．[例5]设a1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12，则a＝()A.2B．2C．22D．4[解析]∵a1，∴函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上单调递增，由题意，得loga2a－logaa＝12，即loga2＝12，∴a12＝2，故a＝4.[答案]D6．函数性质的考查[例6]已知函数f(x)满足f(x2－3)＝lgx2x2－6.(1)求f(x)的表达式及其定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)当函数g(x)满足关系f[g(x)]＝lg(x＋1)时，求g(3)的值．[分析]先由条件f(x2－3)＝lgx2x2－6，求出f(x)及定义域；利用反函数定义解答第(2)，(3)问；为求g(3)应先求g(x)．[解析](1)设x2－3＝t，则x2＝t＋3.∴f(t)＝lgt＋3t＋3－6＝lgt＋3t－3.∴f(x)＝lgx＋3x－3.解不等式x＋3x－30，得x－3，或x3.∴f(x)＝lgx＋3x－3，定义域为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．(2)f(－x)＝lg－x＋3－x－3＝lgx－3x＋3＝－lgx＋3x－3＝－f(x)．∴函数f(x)是奇函数．(3)∵f[g(x)]＝lg(x＋1)，f(x)＝lgx＋3x－3，∴lggx＋3gx－3＝lg(x＋1)，∴gx＋3gx－3＝x＋1.gx＋3gx－30，x＋10.解得g(x)＝3x＋2x，∴g(3)＝5.[点评]本题考查的知识点较多，如求f(x)，g(x)的解析式，求函数定义域和函数值，求反函数等．在解题过程中还要用到指数函数与对数函数的性质，解方程和不等式等．只要掌握好每一个知识点，按题目要求一步一步地进行求解，就可以顺利完成.1.数形结合思想的应用函数的解析式与函数图像是函数的两种不同表现形式，因此在解决数学问题时，可以通过数与形的相互转化达到“以形助数，以数解形”的目的，数形结合的思想可以将复杂问题简单化，抽象问题直观化，此类问题通常是解的个数的判断和解的范围的确定等．数学思想方法归纳[例7]求不等式x－1log6(x＋3)的所有整数解．[解析]设y1＝x－1，y2＝log6(x＋3)，在同一坐标系中作出它们的图像如图所示，两图像有两个交点，一交点的横坐标显然在－3和－2之间，另一个交点设为P.因为x＝1时，log6(1＋3)－(1－1)0，x＝2时，log6(2＋3)－(2－1)0，所以1xP2.综上，原不等式的所有整数解为－2，－1,0,1.2．分类讨论思想在解不等式中的应用解指数不等式与对数不等式是本章常见题型，其解法主要是“同底法”，通过等价转化，将指数、对数不等式(或方程)转化为一次或二次不等式(或方程)，若是含有参数的不等式，结合函数的单调性，一般需利用分类讨论的思想方法判断．[例8]若－1loga231，求a的取值范围．[解析]－1loga231⇒loga1a＝－1loga231＝logaa，①当a1时，有y＝logax为增函数，1a23a.∴a32，结合a1，故a32.②当0a1时，有y＝logax为减函数，1a23a.∴a23，结合0a1，故0a23.∴a的取值范围是{a|0a23或a32}．3．换元思想换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．本章中，常设u＝logax或u＝ax，然后将问题转化为一元二次方程、二次函数等问题，特别要注意换元后u的取值范围．[例9]求函数f(x)＝－(12)2x－4(12)x＋5的值域．[分析]观察函数f(x)的解析式可知，若设u＝(12)x，则问题就转化为求二次函数y＝－u2－4u＋5的值域，这里要特别注意新元u的取值范围是(0，＋∞)．[解析]函数f(x)＝－(12)2x－4(12)x＋5的定义域为R.设u＝(12)x，则u∈(0，＋∞)，且有y＝－u2－4u＋5＝－(u＋2)2＋9，∵此函数的开口向下，对称轴为直线u＝－2，在区间(0，＋∞)上单调递减，且当u＝0时，y＝5，∴y∈(－∞，5)，即函数f(x)的值域是(－∞，5)．4．转化与化归思想所谓转化与化归