等比数列ppt课件第一课时-数学高一必修5第二章数列2.4人教A版

第二章数列2．4等比数列•1.理解等比数列的定义．(重点)•2.掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点)•3.熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点)学习目标1.如下图是某种细胞分裂的模型：探究点：等比数列的概念及通项思考1请同学们讨论一下如果按照这种细胞分裂方式，写出前5次的细胞数量，并观察有什么特点？提示：前5次的细胞分裂数目分别是：1，2，4，8，16.特点：后一次与前一次的比值都相等，且都等于定值2.2.我国古代一些学者提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完.这样，每日剩下的部分都是前一日的一半.提示：如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么，得到的数列是思考2“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么，得到的数列是怎样的呢？1,1,21,41,81,16…思考3让我们共同观察这四组数列，找出它们的共同特征是什么？类比等差数列的定义可归纳出什么结论？(3)3，9，27，81，…；1111-,,-,,...;24816(4)1，2，4，8，16;(1)1，1,21,41,81;16(2)提示：通过观察，四个数列各项之间存在这样的共同特征：数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，分别是.112， ，3，-22结论：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q（q≠0）表示.方法一递推法:思考5请同学们自己动手推导一下等比数列的通项公式是怎样的呢？2211a=q⇒a=aqa233212a=q⇒a=aq=aqa344313a=q⇒a=aq=aqa……由此归纳，可得等比数列的通项公式：n-1n1a=aq.其中均不为0.1,aq方法二叠乘法:21a=qa32a=qa43a=qa54a=qa……n-1n-2a=qann-1a=qa各式左右两边对应相乘，由此，可得等比数列的通项公式：n-1n1a=aq其中,q均不为0.1a例1已知数列的通项公式为，试问这个数列是等比数列吗？na32nna解：因为当时，所以数列是等比数列，且公比为2.2n≥nnn-1n-1a3×2==2,a3×2na典例剖析na例2已知等比数列的公比为q，第m项为，试求其第n项.ma解：由等比数列的通项公式可知：,n-1n1a=aq.m-1m1a=aq两式相除得：,n-mnma=qa因此.n-mnma=aq熟记数列的通项公式例3已知等比数列中，求na515a=20,a=5,20.a解：由a15=a5q10，得,101q=4所以因此51q=2520155a=aq=2或.520155a=aq=-2例4.数列{an}中，a1＝2，a2＝3，且{anan＋1}是以3为公比的等比数列，记bn＝a2n－1＋a2n(n∈N*)．(1)求a3，a4，a5，a6的值；(2)求证：{bn}是等比数列．【分析】(1)先求anan＋1的表达式再求a3，a4，…，(2)利用定义证明．【解析】(1)∵{anan＋1}是公比为3的等比数列，∴anan＋1＝a1a2·3n－1＝2·3n，∴a3＝2·32a2＝6，a4＝2·33a3＝9，a5＝2·34a4＝18，a6＝2·35a5＝27.(2)∵{anan＋1}是公比为3的等比数列，∴anan＋1＝3an－1an，即an＋1＝3an－1，∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…，与a2，a4，a6，…，a2n，…，都是公比为3的等比数列．∴a2n－1＝2·3n－1，a2n＝3·3n－1，bn＝a2n－1＋a2n＝5·3n－1，∴bn＋1bn＝5·3n5·3n－1＝3.故{bn}是以5为首项，3为公比的等比数列．【点评】判断一个数列是等比数列的常用方法1．定义法：an＋1an＝q(常数)(n∈N*)或anan－1＝q(常数)(n≥2)⇔{an}为等比数列．2．等比中项法：a2n＋1＝an·an＋2且an≠0，n∈N*⇔{an}为等比数列．3．通项法：an＝a1qn－1(其中a1、q为非零常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列．1．在证明或判断等比数列时利用等比数列的定义是解决问题的关键．2．在用等比数列通项公式时，以首项a1，公比q为基本量，其他量用这两个量表示出来，再寻求条件与结论的联系，往往使很多问题更容易解决．3．等比中项在题目中会经常出现，要掌握符号问题.1．下列说法：①公差为0的等差数列是等比数列；②b2＝ac，则a，b，c成等比数列；③2b＝a＋c，则a，b，c成等差数列；④公比q＞1，则数列为递增数列．正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个当堂检测【解析】公差为0的非零数列是等比数列，故①不正确，②中只有a，b，c都不为0才正确，④也需要看首项是正还是负，∴只有③正确．【答案】B2．已知等差数列{an}的公差为3，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于()A．9B．3C．－3D．－9【解析】a1＝a2－3，a3＝a2＋3，a4＝a2＋3×2＝a2＋6，由于a1，a3，a4成等比数列，则a23＝a1a4，所以(a2＋3)2＝(a2－3)(a2＋6)，解得a2＝－9.【答案】D3．(2013·临沂高二检测)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q＝()A．－12B．－2C．2D.12【解析】∵a2＝a1q＝2，①a5＝a1q4＝14，②∴②÷①得：q3＝18，∴q＝12.【答案】D4．等比数列{an}中，a3＝6，a4＝18，求a1＋a2.【解】由题意知q＝a4a3＝186＝3，∴a1q2＝6，得a1＝23，∴a2＝a1q＝23×3＝2，∴a1＋a2＝23＋2＝83.5.已知等比数列{bn}与数列{an}满足bn＝3an(n∈N*)．(1)判断{an}是何种数列，并给出证明；(2)若a8＋a13＝m，求b1·b2·…·b20.【解】(1)设数列{bn}的公比为q，则q0.∵bn＝3an，∴b1＝3a1，∴bn＝3a1·qn－1＝3an.方程两边取以3为底的对数得an＝log3(3a1·qn－1)＝a1＋(n－1)log3q.∴数列{an}是以log3q为公差的等差数列．(2)∵a1＋a20＝a8＋a13＝m，∴a1＋a2＋…＋a20＝20a1＋a202＝10m.∴b1·b2·…·b20＝3a1·3a2·…·3a20＝3a1＋a2＋…＋a20＝310m.