全概率公式贝叶斯公式的应用及推广

目录诚信申明·························································3课题及摘要·······················································4引言·····························································51.全概率公式和贝叶斯公式········································61.1全概率公式···············································61.2贝叶斯公式···············································61.3全概率公式和贝叶斯公式的关系·····························62.全概率公式和贝叶斯公式的应用··································72.1商业市场中的应用·········································72.2医疗诊断中的应用·········································92.3实际比赛中的应用·········································103.全概率公式和贝叶斯公式的推广及应用···························123.1全概率公式的推广·········································123.2贝叶斯公式的推广·········································153.4全概率和贝叶斯推广公式的应用·····························17总结····························································19参考文献························································203河西学院本科生毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。作者签名：二O年月日（打印）4全概率公式和贝叶斯公式的应用及推广摘要：全概率公式和贝叶斯公式是计算复杂事件概率的公式，本文对两个公式在医疗诊断、商业市场和实际比赛等的应用举例说明了其用法和使用的概型。为了解决更多的实际问题，对两个公式进行了简单的推广及推广后的应用。关键词：全概率公式；贝叶斯公式；应用；推广Abstract:ThetotalprobabilityformulaandBiasformulaistocalculatethecomplexeventprobabilityformula,theapplicationoftwoformulasinmedicaldiagnosis,thecommercialmarketandtheactualgame,illustratesitsuseandtheuseofprobability.Inordertosolvetheactualproblemmore,forthetwoformulafortheapplicationandpromotionofsimpleafter.Keywords：TotalProbabilityFormula;BayesFormula;Application;Promotion4引言全概率公式与贝叶斯公式是概率论中重要的公式，主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科,起源于17世纪。发展到现在,已经深入到科学和社会的许多领域。从十七世纪到现在很多国家对这两个公式有了多方面的研究。概率论的重要课题之一,就是希望从已知的简单事件概率推算出未知的复杂事件的概率。为了达到这个目的,经常把一个复杂的事件分成若干个互不相容事件,再通过分别计算这些简单事件的概率,最后利用概率的可加性得到最终结果。这就是全概率公式的基本思想。把上面的整理清楚就是全概率公式。全概率公式是概率论中一个非常重要的基本公式，通过对概率论课程的研究，发现有多内容可以进一步深化与挖掘，从而得到更广泛，更简洁，更实用的结论，以丰富和完善概率论的理论体系。它提供了计算复杂事件概率的一条有效途径,使一个复杂事件的概率计算问题化繁就简。在概率论中起着很重要的作用,灵活使用全概率公式会给我们的解题带来很大方便。蕴涵的数学思想方法：全概率公式蕴含了化整为零，化复杂为简单的数学思想；全概率公式的本质：全概率公式中的P(B)是一种平均概率，是条件概率P(𝐵|𝐴𝑖)的加权平均，其中加在每个条件概率上的权重就是作为条件的事件𝐴𝑖发生的概率.贝叶斯公式首先出现在英国学者T·贝叶斯（1702-1761）去世后的1763年的一项著作中。从形式推导上看，这个公式平淡无奇，它不过是条件概率定义与全概率公式的简单推导。其之所以著名，在于其现实乃至哲理意义的解释上：原以为不甚可能的一种情况，可以因某种事件的发生变得甚为可能；或者相反，贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化。目前，社会在飞速发展，市场竞争日趋激烈，决策者必须综合考察已往的信息及现状从而作出综合判断，决策概率分析这门学科越来越显示其重要性。其中贝叶斯公式主要用于处理先验概率与后验概率，是进行统计决策的重要工具。概率论对医学的渗透与结合，已成为现代医学领域的显著特征。利用数学方法，充分利用好全概率公式和贝叶斯公式及其推广形式，定量地对医学问题进行相关分析，使其结论更具有可信度，更有利于促进对病人的对症施治。利用好全概率公式和贝叶斯公式可以用来解决投资、保险、工程等一系列不确定的问题中。两个概率公式及推广形式的正确应用有助于进一步研究多个随机过程的试验中目标事件及其条件下各诱发事件的概率，有助于把握随机事件间的相互影响关系，为生产实践提供更有价值的决策信息。灵活使5用全概率公式和贝叶斯公式会给我们的解题带来很大方便，而其推广形式将进一步拓展公式的适用范围，成为我们解决更复杂问题的有效工具1.全概率公式和贝叶斯公式定义设S为试验E的样本空间，𝐵1,𝐵2,···𝐵𝑛为E的一组事件，若（i）𝐵𝑖𝐵𝑗=∅，i≠j，i，j=1,2···n；（ii）𝐵1∪𝐵2∪···∪𝐵𝑛=S，则称𝐵1，𝐵2···𝐵𝑛为样本空间的一个划分，那么，对每次试验，事件𝐵1，𝐵2···𝐵𝑛中必有一个且仅有一个发生。例如，设试验E为“掷一颗骰子观察其点数”。它的样本空间为S={1,2,3,4,5,6}。E的一组事件𝐵1={1,2,3}，𝐵2={4,5}，𝐵3={6}是S的一个划分。而事件组𝐶1={1,2,3}，𝐶2={3,4}，𝐶3={5,6}不是S的划分。1.1全概率公式定理设试验E的样本空间为S，A为E的事件，𝐵1，𝐵2···𝐵𝑛为S的一个划分，且P（𝐵𝑖）0(i=1,2,···n)，则P(A)=P(A丨𝐵1)P(𝐵1)+P(A丨𝐵2)P(𝐵2)+···+P(A丨𝐵𝑛)P(𝐵𝑛)（1.1）（1.1）式称为全概率公式。在很多实际问题中P(A)不易直接求得，但却容易找到S的一个划分𝐵1，𝐵2···𝐵𝑛，且P（𝐵𝑖）和P(A丨𝐵𝑖)或为已知，或容易求得，那么就可以根据（1.1）式求出P(A)。1.2贝叶斯公式定理设试验E的样本空间为S，A为E的事件，𝐵1，𝐵2···𝐵𝑛为S的一个划分，且P(A)0，P（𝐵𝑖）0(i=1,2,···n)，则P(𝐵𝑖丨A)=𝑃(𝐴丨≈𝐵𝑖)P（𝐵𝑖）∑𝑃(𝐴丨𝐵𝑗)P（𝐵𝑗）𝑛𝑗=1（1.2）（1.2）式称为贝叶斯公式1.3全概率公式和贝叶斯公式的关系全概率公式的“全”是指要把能影响A事件的因素找全。定理说明目标事件A发生的概率是在划分（i=1,2，···，n）基础上两两互斥事件组A(i=1,2，···，n)的概述之和，可视为为事件A的诱发事件，P(𝐴𝑖𝐵)为诱发成功的可能；若A已经发生，则来自诱6发成功的可能是𝑃(𝐵𝑖𝐴)𝑃(𝐴)，这本是一个条件概率P(𝐵𝑖|𝐴),使用乘法公式和全概率公式之后成为贝叶斯公式。在全概率公式和贝叶斯公式中，𝐵1,𝐵2,···𝐵𝑛是伴随结果A发生的各种原因，P（𝐵𝑖）是各种原因发生的概率，它一般是有经验给出的，称为先验概率。P(𝐵𝑖|𝐴)反映试验后各种情况发生的概率的新结果，可用来修正P（𝐵𝑖）。“由因索果”用全概率公式，“由果索因”用贝叶斯公式。2.全概率公式和贝叶斯公式的应用2.1在商业市场中的应用例1.某电子设备制造厂所用的元件是有三家元件制造厂提供的，根据以往的记录三家厂的次品率分别为0.02,0.01,0.03，三家厂所提供的份额分别为0.15,0.80,0.05。设这三家厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。（1）在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率；（2）在仓库中随机取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此品出自何厂，需求出此品由三家工厂生产的概率分别是多少？解：设A表示“取到的是一只次品”，𝐵𝑖（i=1,2，3）表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”。易知𝐵1，𝐵2，𝐵3是样本空间S的一个划分，且有P(𝐵1)=0.15P(𝐵2)=0.80P(𝐵3)=0.05P(A丨𝐵1)=0.02P(A丨𝐵2)=0.01P(A丨𝐵3)=0.031.由全概率公式P(A)=P(A丨𝐵1)P(𝐵1)+P(A丨𝐵2)P(𝐵2)+···+P(A丨𝐵𝑛)P(𝐵𝑛)=0.01252.由贝叶斯公式P(𝐵1丨A)=𝑃(𝐴丨𝐵1)𝑃（𝐵1）𝑃(𝐴)=0.02∗0.150.0125=0.24P(𝐵2丨A)=0.64P(𝐵3丨A)=0.12以上结果表明，这只产品来自第二家工厂的可能性最大。例2.某厂生产的产品次品率为某厂生产的产品次品率为0．1％，但是没有适当的仪器进行检验．有人声称发明一种仪器可以用来检验，误判的概率仅为5％．试问厂长能否采用该人所发明的仪器?分析“5％的误判率”给检验带来怎样的可信度，这是厂长决策的依据，即弄清“被7检验出的正(或次)品中实际正(或次)品率”．解：设事件A表示“客观的次品”，事件B表示“经榆验判为次品的产品”，由题意知P(A)=0.001P(Ā)=0.999P(A丨B)=0.95P(B丨Ā)=0.05由贝叶斯公式可计算“被检验出次品的实际次品率”为P(A丨B)=𝑃(𝐴丨𝐵)𝑃（𝐵）𝑃(𝐵丨𝐴)𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵丨Ā)𝑃（Ā）=(0.001×0.95)/(0.001×0.95+0.999×0.05)=0.018664同理，“被检验出的正品中实际正品率”为P(A̅丨B̅)≈0.99947由P(A丨B)=0.018664可知，如果产品的成本较高，厂长就不能采用这台新仪器，因为被仪器判为次品的产品中实际上有98％以上的是正品，这样导致损耗过高．同时，我们也注意到该仪器对正品的检验还是相当精确的，若检验对产品没有破坏作用，倒是可以在“被认定次品”的产品中反复检验，挑出“假次品”，这就降低了损耗，叉保证了正品具有较高的可信度．例3.一种新产品，一个推销员去推销，成功记为“S”，失败记作“D”，推销员的主观概率P(S)=0.3，P(D)=0.7，成功的收益为5000