人教A版-数学-高一必修4-第一章-1.1.1-弧度制第1课时-课件-(1)

第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.2弧度制学习目标•1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．•2.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．•3建立角的集合与实数集一一对应关系，熟记特殊角的弧度数.(1)角度制：用度作单位来度量角的制度叫做，规定周角的1360为1度的角．其中等于1度，60秒等于1分．(2)弧度制：长度等于长的圆弧所对的叫做1弧度的角，记作1rad.以为单位来度量角的制度叫做弧度制．注：一般地，正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是.角度制60分半径圆心角弧度知识1度量角的两种单位制新知探究正数负数0(1)角度制与弧度制的换算2π2πππ知识2角度制与弧度制的换算(2)特殊角的弧度数角度0°15°30°45°60°75°90°120°135°150°弧度0π12π6π4π3512ππ223π34π5π6角度180°210°225°240°270°300°315°330°360°弧度π76π5π44π332π5π374π11π62π探究一我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r，圆心角弧度数为α)．解：半径为r，圆心角为n°的扇形弧长公式为l＝nπr180，扇形面积公式为S扇＝nπr2360.∵l2πr＝|α|2π，∴l＝|α|r.∵S扇S圆＝S扇πr2＝|α|2π，∴S扇＝12|α|r2.∴S扇＝12|α|r2＝12lr.知识3弧度制下的扇形的弧长及面积公式角度制与弧度制下扇形的弧长及面积公式对比：设扇形的半径为R，弧长为l，α(0α2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝l＝扇形的面积S＝S＝＝απR180αRαπR236012αR212lR(1)弧度数公式：α＝；(2)弧长公式：l＝；(3)扇形面积公式：S＝＝.lrαr12lr12αr2探究点二用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2kπ＋α(k∈Z)，其中α的单位必须是弧度．问题1利用弧度制表示终边落在坐标轴上的角的集合.终边所在的位置角的集合x轴{α|α＝kπ，k∈Z}y轴{α|α＝kπ＋π2，k∈Z}坐标轴{α|α＝kπ2，k∈Z}问题2利用弧度制表示终边落在各个象限的角的集合.α终边所在的象限角α的集合Ⅰ{α|2kπα2kπ＋π2，k∈Z}Ⅱ{α|2kπ＋π2α2kπ＋π，k∈Z}Ⅲ{α|2kπ＋πα2kπ＋3π2，k∈Z}Ⅳ{α|2kπ＋3π2α2kπ＋2π，k∈Z}类型1角度制与弧度制的互化【例1】将下列各角度与弧度互化.(1)67.5°；(2)112°30′；(3)－7π12；(4)3.；【分析】依据换算关系πrad＝180°，逐个角进行转化.典例剖析【解析】(1)67.5°＝π180rad×67.5＝3π8rad.(2)112°30′＝112.5°＝π180rad×112.5＝5π8rad.(3)－7π12＝－7π12×180π°＝－105°.(4)3rad＝3×180π°＝57.30°×3＝171.90°.【方法探究】角度制与弧度制换算时应注意的三个问题(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度(rad)”可以省略不写；如果以度(°)为单位表示角的大小时，度(°)不能省略.(2)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度.(3)有些角的弧度数是π的整数倍时，如无特别要求，不必把π化成小数.跟踪训练1将下列角按要求转化：(1)300°＝________rad；(2)－22°30′＝________rad；(3)8π5＝________度．答案(1)5π3(2)－π8(3)288类型2用弧度表示终边相同的角【例2】已知角α＝2010°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角.【分析】(1)可将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，根据β与α终边相同判断.(2)关键在于由－5π≤β＋2kπ＜0求出k的取值.【解析】(1)2010°＝2010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6，又π＜7π6＜3π2，所以α与7π6终边相同，是第三象限的角.(2)与α终边相同的角可以写为γ＝7π6＋2kπ(k∈Z)，又－5π≤γ＜0，∴当k＝－3时，γ＝－296π；当k＝－2时，γ＝－176π；当k＝－1时，γ＝－56π.【方法探究】用弧度来表示终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的集合用弧度可表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，这里α应为弧度数.跟踪训练2：(1)(2014·长沙高一检测)把－1125°化为2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式是()A.－6π－π4B.－6π＋7π4C.－8π－π4D.－8π＋7π4【解析】－1125°＝－254π＝－8π＋7π4.【答案】D(2)已知α＝1690°.①把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式；②求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π).【解】(2)①1690°＝1440°＋250°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2518π.②∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋2518π(k∈Z).又θ∈(－4π，4π)，∴－4π＜2kπ＋2518π＜4π，∴－9736＜k＜4736(k∈Z).∴k＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π.类型3扇形的弧长、面积公式的应用【例3】已知扇形的周长为20cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【分析】先用半径r表示弧长，再建立扇形面积S与半径r之间的函数关系，进而求出最大值.【解析】设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S.则l＝20－2r，∴S＝12lr＝12(20－2r)·r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25(0＜r＜10).∴当半径r＝5cm时，扇形的面积最大，为25cm2.此时α＝lr＝20－2×55＝2(rad).∴当它的半径为5cm，圆心角为2rad时，扇形面积最大，最大值为25cm2.【方法探究】灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题．跟踪训练3(1)(2014·杭州高一检测)设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________.(2)(2014·绵阳高一月考)经过一刻钟，长为10cm的分针旋转过程中所扫过的面积是________.【解析】(1)设扇形的半径为rcm，圆心角为αrad，弧长为lcm，由题意2r＋l＝8，12l·r＝4，解得l＝4，r＝2，又由l＝α·r，所以α＝lr＝42＝2(rad).(2)设分针旋转过程中所扫过的圆心角为α，弧长为l，则所扫过的面积是S＝12lR＝12|α|R2＝12×π2×102＝25π(cm2).【答案】(1)2(2)25πcm21.明确1弧度的含义是掌握本节问题的关键.2.弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形，具体变化时，可牢记以下公式：π180＝弧度角度，只要将已知数值填入相应位置，解出未知的数值，再添上相应的单位即可.3.弧度制下的扇形面积公式可类比三角形的面积公式来记忆.4.引入弧度制后，就有两种度量角的单位制，不仅使扇形的弧长和面积公式变得更加简洁，也建立了角与实数间的一一对应关系，为后面学习三角函数的定义打下了基础.1.下列叙述中正确的是()A.1弧度是1度的圆心角所对的弧B.1弧度是长度为半径的弧C.1弧度是1度的弧与1度的角之和D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位【解析】根据弧度制的定义知D项正确.【答案】D当堂检测2.(2014·衡水高一月考)2弧度的角所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】∵π2＜2＜π，∴2弧度的角是第二象限角，故选B.【答案】B3．把－114π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是________．解析－114π＝－2π＋－34π＝2×(－1)π＋－34π.∴θ＝－34π.－34π4．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的中心角的弧度数是()A．1B．4C．1或4D．2或4解析设扇形半径为r，中心角弧度数为α，则由题意得2r＋αr＝612αr2＝2，∴r＝1α＝4或r＝2α＝1.C(1)时钟问题在解决时钟中的时针与分针有关的角度问题时，要注意它们在单位时间内各转了多少圈.例如：2小时40分钟后，则分针所转的弧度数为______.课后延伸【解析】首先注意到分针转的方向为顺时针，即为负角.又2小时40分钟＝83小时，而1小时分针转过的弧度数为2π.故分钟转了－2π×83＝－163π.【答案】－163π(2)角的“周期现象”一个角每旋转一周(顺时针或逆时针)，终边就又回到了原来的位置，终边相同的角周而复始地出现，这正是三角函数具有周期性的本质原因，也是解决某些问题的关键，而且这种周期现象在现实生活中有广泛的应用.例如：今天是星期一，则100天后是星期几？【解】由于星期几也具有周期性，因而可类似于角的问题来解决，即100＝7×14＋2,100天后是星期三.