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第3讲随机事件的概率1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式.1.随机事件和确定事件(1)在条件S下,一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件.(2)在条件S下,一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件.(3)必然事件与不可能事件统称为确定事件.(4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件.称事件A出现的比例fn(A)=_____为事件A出现的频率.nAn(5)确定事件和随机事件统称为事件,一般用大写字母A,B,C……表示.2.频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,(2)对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率,简称为A的概率.关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A,且A⊇B______并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A+B)3.事件的关系与运算A=B关系与运算定义符号表示交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件,则事件A与事件B互斥A∩B=∅对立事件若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件P(A∪B)=P(A)+P(B)=1(续表)4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1.1(2)必然事件的概率P(E)=________.(3)不可能事件的概率P(F)=________.0(4)互斥事件概率的加法公式:①如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B);②若事件B与事件A互为对立事件,则P(A)=1-P(B).(5)对立事件的概率:P(A)=__________.1-P(A)1.下列说法中正确的是()CA.任何事件的概率总是在(0,1)之间B.频率是客观存在的,与试验次数无关C.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率D.概率是随机的,在试验前不能确定分组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)频数2345422.(2012年湖北)容量为20的样本数据,分组后的频数如下表:)B则样本数据落在区间[10,40)的频率为(A.0.35B.0.45C.0.55D.0.653.(2013年新课标Ⅱ)从n个正整数1,2,…,n中任意取出2个不同的数,若取出的2数之和为5的概率是114,则n=_______.8解析:从n个正整数1,2,…n中任意取出2个不同的数共有C2n种取法,而取出的2数之和等于5的有取出1,4或2,3,共2种情况,则2C2n=114,故n=8.4.(2013年浙江)从3男3女6名学生中任选2名(每名同学被选中的机会相等),则2名都是女同学的概率等于_______.解析:C23C26=315=15.15考点1事件的概念及判断例1:一口袋内装有5个白球和3个黑球,从中任取两球.记“取到一白一黑”为事件A1,“取到两白球”为事件A2,“取到两黑球”为事件A3.解答下列问题:(1)记“取到2个黄球”为事件M,判断事件M是什么事件?(2)记“取到至少1个白球”为事件A,试分析A与A1,A2,A3的关系.解:(1)事件M不可能发生,故为不可能事件.(2)事件A1或A2发生,则事件A必发生,故A1⊆A,A2⊆A,且A=A1+A2.又A∩A3为不可能事件,A∪A3为必然事件,故A与A3对立.【互动探究】1.一个口袋内装有5个白球和3个黑球,从中任意取出一个球.(1)“取出的球是红球”是什么事件,它的概率是多少?(2)“取出的球是黑球”是什么事件,它的概率是多少?(3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件,它的概率是多少?解:(1)由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球,故“取出的球是红球”不可能发生,因此,它是不可能事件,其概率为0.(2)由已知,从口袋内取出一个球,可能是白球也可能是黑(3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球,故取出一个球不是黑球就是白球.因此,“取出的球是白球或是黑球”是必然事件,它的概率是1.球,故“取出的球是黑球”是随机事件,它的概率为38.例2:如图9-3-1,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查,调查结果如下:(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;所用时间/分10~2020~3030~4040~5050~60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164考点2随机事件的频率与概率(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.图9-1-1解:(1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),用频率估计相应的概率为0.44.所用时间/分10~2020~3030~4040~5050~60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率为:(3)A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)P(A2).∴甲应选择L1.P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)>P(B1),∴乙应选择L2.【规律方法】概率是频率的稳定值,根据随机事件发生的频率只能得到概率的估计值.指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]频数82042228【互动探究】2.某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到如下试验结果:A配方的频数分布表指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]频数412423210B配方的频数分布表(1)分别估计用A配方、B配方生产的产品的优质品率;(2)已知用B配方生产的一种产品利润y(单位:元)与其质量指标值t的关系式为y=-2,t94,2,94≤t102,4,t≥102,估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率.解:(1)由试验结果知,用A配方生产的产品中优质品的频率为22+8100=0.3,所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知,用B配方生产的产品中优质品的频率为32+10100=0.42,所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.(2)由条件知用B配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94.由试验结果知,质量指标值t≥94的频率为0.96,所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.考点3互斥事件、对立事件的概率例3:某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:(1)P(A),P(B),P(C);(2)1张奖券的中奖概率;(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.解:(1)P(A)=11000,P(B)=101000=1100,P(C)=501000=120.故事件A,B,C的概率分别为11000,1100,120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M,则M=A∪B∪C.∵A,B,C两两互斥,∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=1+10+501000=611000.故1张奖券的中奖概率为611000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,∴P(N)=1-P(A∪B)=1-11000+1100=9891000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891000.【规律方法】某些问题,直接求时,我们可以转化为互斥事件的和求解,有些问题我们可以采用间接法.如第(3)小题,我们求其对立事件的概率来推出所求事件的概率.但是在理解对立问题时经常容易造成理解混乱,比如“至少有一人”的对立事件是“一个都没有”,“至少两人”的对立事件是“至多有一人”.【互动探究】3.射手在一次射击训练中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算这个射手在一次射击中:(1)射中10环或7环的概率;(2)不够7环的概率.解:(1)记“射中10环”为事件A,记“射中7环”为事件B.由于在一次射击中,A与B不可能同时发生,故A与B是互斥事件.“射中10环或7环”的事件为A+B.故P(A+B)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49.(2)记“不够7环”为事件E,则事件E为“射中7环或8环或9环或10环”,由(1)可知“射中7环”“射中8环”等是彼此互斥事件.所以P(E)=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,从而P(E)=1-P(E)=1-0.97=0.03.所以不够7环的概率为0.03.●易错、易混、易漏●⊙对互斥事件与对立事件概念的理解例题:(人教版必修3P121-5)把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙3人,每人1张,则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()A.对立事件C.不可能事件B.互斥但不对立事件D.必然事件思维点拨:明确互斥事件与对立事件的概念,互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生.正解:因为只有1张红牌,所以“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生,所以是互斥事件,但是这两个事件不是必有一个发生,故不是对立事件,故选B.答案:B【失误与防范】互斥事件是不可能同时发生的事件,而对立事件是不可能同时发生且必有一个发生的两个事件.对立事件与互斥事件的区别在于两个事件中是否必有一个发生.
本文标题:2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第九章-第3讲-随机事件的概率
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