2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第二章-第10讲-函数与方程

第10讲函数与方程1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．1．函数的零点(1)方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有________⇔函数y＝f(x)有零点；交点(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图象是连续不断的，且有f(a)·f(b)____0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．一般把这一结论称为零点存在性定理．2．二分法如果函数y＝f(x)在区间[m，n]上的图象是一条连续不断的曲线，且f(m)·f(n)0，通过不断地把函数y＝f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．1．如图2-10-1所示的是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f(x)零点的区间是()B图2-10-1A．[－2.1，－1]C．[4.1,5]B．[1.9,2.3]D．[5,6.1]f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.4375)＝0.165f(1.40625)＝－0.0522．(2012年广东韶关一模)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为(C)A．1.2C．1.4B．1.3D．1.53．方程2x＋x－4＝0的解所在的区间为()CA．(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)解析：令f(x)＝2x＋x－4，∵f(1)·f(2)＝－20，∴f(x)在(1,2)内有零点．4．函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为()BA．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，+∞)，且在(0，＋∞)上单调递增．又f(1)＝－10，f(2)＝log320，∴函数f(x)有唯一零点，且零点在区间(1,2)内．x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…xy＝21.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556…2y＝x0.040.361.01.963.244.846.769.011.56…考点1判断函数零点所在的区间例1：(1)利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：那么方程2x＝x2的一个根位于下列区间中的()A．(0.6,1.0)C．(1.8,2.2)B．(1.4,1.8)D．(2.6,3.0)解析：令f(x)＝2x－x2.由f(0.6)＝1.516－0.360，f(1.0)＝2.0－1.00，排除A；由f(1.4)＝2.639－1.960，f(1.8)＝3.482－3.240，排除B；由f(2.6)＝6.063－6.760，f(3.0)＝8.0－9.00，排除D；由f(1.8)＝3.482－3.240，f(2.2)＝4.595－4.840，可确定方程2x＝x2的一个根位于区间(1.8,2.2)上．答案：C(2)(2014年北京)已知函数f(x)＝6x－log2x，在下列区间中，包含f(x)的零点的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,4)D．(4，＋∞)答案：C解析：∵f(2)＝3－10，f(4)＝32－20，∴由根的存在性定理知，f(x)的零点在区间(2,4)内．故选C.【规律方法】判断函数y＝f(x)在某个区间上是否存在零点，常用以下三种方法：①当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上；②利用函数零点的存在性定理进行判断；③通过函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.【互动探究】1．(2013年重庆)若abc，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()AA．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内解析：f(a)＝(a－b)(a－c)0；f(b)＝(b－c)(b－a)0，f(c)＝(c－a)(c－b)0，f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，所以两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．考点2二分法的应用例2：已知函数f(x)＝lnx＋2x－6.(1)求证：函数f(x)在其定义域上是增函数；(2)求证：函数f(x)有且只有一个零点；(3)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过14.(1)证明：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，设x1x2，则lnx1lnx2,2x12x2.∴lnx1＋2x1－6lnx2＋2x2－6.∴f(x1)f(x2)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)证明：∵f(2)＝ln2－20，f(3)＝ln30，∴f(2)·f(3)0.∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点．又由(1)知，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此f(x)＝0至多有一个根，从而函数f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．(3)解：由(2)知，f(x)的零点x0在(2,3)上，取x1＝52，∵f52＝ln52－10，∴f52·f(3)0.∴x0∈52，3.取x1＝114，∵f114＝ln114－120，∴f52·f1140.∴x0∈52，114.而114－52＝14≤14，∴52，114即为符合条件的区间．【规律方法】(1)二分法是求方程根的近似值的一种计算方法，它只能用来求函数的变号零点；(2)给定精度ε，用二分法求函数y＝f(x)的零点近似值的步骤如下：①确定区间[m，n]，验证f(m)·f(n)0，给定精度ε；②求区间[m，n]的中点x1；③计算f(x1)：ⅰ)若f(x1)＝0，则x1就是函数y＝f(x)的零点；ⅱ)若f(m)·f(x1)0，则令n＝x1[此时零点x0∈(m，x1)]；ⅲ)若f(x1)·f(n)0，则令m＝x1[此时零点x0∈(x1，n)]．【互动探究】2．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对)值不超过0.25，则f(x)可以是(A．f(x)＝4x－1B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝ex－1D．f(x)＝lnx－12解析：f(x)＝4x－1的零点为x＝14，f(x)＝(x－1)2的零点为x＝1，f(x)＝ex－1的零点为x＝0，f(x)＝lnx－12的零点为x＝32.现在我们来估算g(x)＝4x＋2x－2的零点，因为g(0)＝－1，g12＝1，所以g(x)的零点x∈0，12，又函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，只有f(x)＝4x－1的零点适合．答案：A考点3利用导数讨论方程的根的分布例3：(2013年广东广州一模)已知f(x)是二次函数，不等式f(x)0的解集是(0,5)，且f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线6x＋y＋1＝0平行．(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在t∈N，使得方程f(x)＋37x＝0在区间(t，t＋1)内有两个不相等的实数根？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．思维点拨：(1)由二次不等式f(x)0的解集可设出f(x)解析式，利用条件求出f′(1)，解出待定系数．(2)对方程作等价变形,利用导数和变号零点判定法则探求t.∵函数f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线6x＋y＋1＝0平行，∴f′(1)＝－6.∴2a－5a＝－6，解得a＝2.∴f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x.解：(1)方法一:∵f(x)是二次函数,不等式f(x)0的解集是(0,5),∴可设f(x)＝ax(x－5)，a0.∴f′(x)＝2ax－5a.方法二：设f(x)＝ax2＋bx＋c，∵不等式f(x)0的解集是(0,5)，∴方程ax2＋bx＋c＝0的两根为0,5.∴c＝0,25a＋5b＝0.①∵f′(x)＝2ax＋b，又函数f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线6x＋y＋1＝0平行，∴f′(1)＝－6.∴2a＋b＝－6.②由①②，解得a＝2，b＝－10.∴f(x)＝2x2－10x.(2)由(1)知，方程f(x)＋37x＝0等价于方程2x3－10x2＋37＝0.设h(x)＝2x3－10x2＋37，则h′(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10)．当x∈0，103时，h′(x)0，函数h(x)在0，103上单调递减；当x∈103，＋∞时，h′(x)0，函数h(x)在103，＋∞上单调递增．∵h(3)＝10，h103＝－1270，h4＝50，∴方程h(x)＝0在区间3，103，103，4内分别有唯一实数根，在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根．∴存在唯一的自然数t＝3，使得方程f(x)＋37x＝0在区间(t，t＋1)内有且只有两个不相等的实数根．【规律方法】方程f(x)＋37x＝0等价于2x3－10x2＋37＝0.设h(x)＝2x3－10x2＋37，则h′(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10)．函数h(x)在0，103上单调递减；函数h(x)在103，＋∞上单调递增．∵h103＝－1270，则t与103有关，应该是3，然后利用零点存在性定理验证．【互动探究】3．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个B解析：因为f′(x)＝2xln2＋3x2≥0，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)内单调递增．又f(0)＝1－2＝－10，f(1)＝2＋1－2＝10，所以由零点存在性定理知，在区间(0,1)内函数的零点个数为1个．故选B.●思想与方法●⊙运用分类讨论思想判断方程根的分布例题：已知函数f(x)＝ax2＋x－1＋3a(a∈R)在区间[－1,1]上有零点，求实数a的取值范围．令f(x)＝0，得x＝1是区间[－1,1]上的零点．当a≠0时，函数f(x)在区间[－1,1]上有零点分三种情况：解：方法一：当a＝0时，f(x)＝x－1.①方程f(x)＝0在区间[－1,1]上有重根．令Δ＝1－4a(－1＋3a)＝0，解得a＝－16或a＝12.当a＝－16时，令f(x)＝0，得x＝3，不是[－1,1]上的零点；当a＝12时，令f(x)＝0，得x＝－1，是[－1,1]上的零点；②若函数y＝f(x)在区间[－1,1]上只有一个零点，但不是f(x)＝0的重根．令f(1)f(－1)＝4a(4a－2)≤0，解得0a≤12；③若函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有两个零点，则a0，Δ＝－12a2＋4a＋10，－1－12a1，f(1)≥0，f(－1)≥0或a0，Δ＝－12a2＋4a＋10，－1－12a1，f(1)≤0，f(－1)≤0.解得a∈∅.综上所述，实数a的取值范围为0，12.方法二：当a＝0时，f(x)＝x－1，令f(x)＝0，得x＝1，是区间[－1,1]上的零点．当a≠0时，f(x)＝ax2＋x－1＋3a在区间[－1,1]上有零点⇔(x2＋3)a＝1－x在区间[－1,1]上有解⇔a＝1－xx2＋3在区间[－1,1]上有解．问题转化为求函数y＝1－xx2＋3在区间[－1,1]上的值域．设t＝1－x，由x∈[－1,1]，得t∈[0,2]．而y＝t(1－t)2＋3＝1t＋4t－2≥0.设g(t)＝t＋4t，可以证明当t∈(0,2]时，g(t)单调递减．事实上，设0t1t2≤2，则g(t