2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第六章-第6讲-不等式选讲

第6讲不等式选讲1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|；(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≤a.2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明．(1)柯西不等式的向量形式：|α|·|β|≥|α·β|.(2)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.(3)x1－x22＋y1－y22＋x2－x32＋y2－y32≥x1－x32＋y1－y32.(此不等式通常称为平面三角不等式)3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：4．会用向量递归方法讨论排序不等式．5．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题．6．会用数学归纳法证明伯努利不等式：(1＋x)n1＋nx(x－1，x≠0，n为大于1的正整数)，了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立．21niia·21niib≥(1niaibi)2.7．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、缩放法．1．常用的证明不等式的方法(1)比较法：比较法包括作差比较法和作商比较法．(2)综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数的定理)和不等式的性质，推导出所要证明的不等式．(3)分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立．(4)反证法：可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式AB，先假设A≤B，由题设及其他性质，推出矛盾，从而肯定AB.凡涉及的证明不等式为否定命题、唯一性命题或含有“至多”“至少”“不存在”“不可能”等词语时，可以考虑用反证法．(5)放缩法：要证明不等式AB成立，借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法．2．绝对值不等式(1)含绝对值不等式的解法：设a0，|f(x)|a⇔－af(x)a；|f(x)|a⇔f(x)－a或f(x)a.(2)理解绝对值的几何意义：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.D1．用反证法证明时：其中的结论“ab”，应假设为()A．abB．abC．a＝bD．a≤b2．若关于x的不等式|x－a|1的解集为(1,3)，则实数a的值为()A．2B．1C．－1D．－23．不等式|2x－3|1的解集为_______________________．(－∞，1)∪(2，＋∞)A4．(2014年广东韶关调研)不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是______________.[1，＋∞)5．(2013年江西)在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为________．[0,4]解析：设f(x)＝|x＋1|－|x－2|，则f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝－3，x≤－1，2x－1，－1x2，3，x≥2.由2x－1≥1，解得x≥1，所以解集为[1，＋∞)．考点1比较法证明不等式例1：(2013年江苏)已知a≥b0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：∵2a3－b3－(2ab2－a2b)＝(2a3－2ab2)＋(a2b－b3)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a＋b)(a－b)(2a＋b)，【规律方法】比较法证不等式的步骤可归纳为：①作差并化简，其化简目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式.②判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论.③得出结论.又∵a≥b0，∴a＋b0，a－b≥0,2a＋b0，∴(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.∴2a3－b3－(2ab2－a2b)≥0.∴2a3－b3≥2ab2－a2b.考点2综合法证明不等式例2：(2013年新课标Ⅱ)设a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ca≤13；(2)a2b＋b2c＋c2a≥1.证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设，得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝1，即3ab＋3bc＋3ac≥1，即ab＋bc＋ca≤13.(2)因为a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c，所以a2b＋b2c＋c2a＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.所以a2b＋b2c＋c2a≥1.【规律方法】分析法证明不等式，就是“执果索因”，从所证的不等式出发，不断用充分条件代替前面的不等式，直至使不等式成立的条件已具备，就断定原不等式成立.当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别对于条件简单而结论复杂的题目往往是行之有效的方法,用分析法论证“若A，则B”这个命题的模式是：欲证命题B为真，只需证明命题B1为真，从而又只需证明命题B2为真，从而又…只需证明命题A为真，今已知A真，故B必真.简写为：B⇐B1⇐B2…⇐Bn⇐A.考点3分析法证明不等式例3：已知α，β∈0，π2，且α≠β，求证：tanα＋tanβ2tanα＋β2.证明：欲证tanα＋tanβ2tanα＋β2，即证sinαcosα＋sinβcosβ2sinα＋β2cosα＋β2，即只需证sinα＋βcosαcosβ2sinα＋β2cosα＋β2.∵α＋β2∈0，π2，∴sinα＋β20.故只需证cosα＋β2cosαcosβ1cosα＋β2∵sinα＋β＝2sinα＋β2cosα＋β2，只需证cos2α＋β2cosαcosβ，【规律方法】极坐标方程与参数方程之间不能直接互化，必需以普通方程为桥梁，即将极坐标方程转化为普通方程再转化为参数方程，或将参数方程转化为普通方程再转化为极坐标方程，要注意普通方程与参数方程的等价性．即证1＋cosα＋β2cosαcosβ，即证1＋cosαcosβ－sinαsinβ2cosαcosβ，只需证1cos(α－β)，∵α≠β，∴结论显然成立．故原不等式成立．考点4利用放缩法证明不等式时应把握好度例4：已知n∈N*，求证：1＋122＋132＋…＋1n274(n2)．证明：∵1n21nn－1＝1n－1－1n，∴112＋122＋132＋…＋1n21＋14＋12－13＋…＋1n－1－1n＝74－1n74.【规律方法】要证AB，可适当选择一个C，使得C≥B，反之亦然.主要应用于不等式两边差异较大时的证明.一般的放缩技巧有：①分式放缩：固定分子，放缩分母；固定分母，放缩分子.多见于分式类不等式的证明；②添舍放缩：视情况丢掉或增多一些项进行放缩，多见于整式或根式配方后需要放缩的不等式的证明.考点5解绝对值不等式例5：已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.(1)求不等式f(x)≤6的解集；(2)若关于x的不等式f(x)a恒成立，求实数a的取值范围．思维点拨：(1)只要分区去掉绝对值，即转化为普通的一次不等式，最后把各个区间内的解集合并即可；(2)问题等价于f(x)max，可以利用不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.解析：(1)原不等式等价于x32，2x＋1＋2x－3≤6或－12≤x≤32，2x＋1－2x－3≤6或x－12，－2x＋1－2x－3≤6.解得32x≤2或－12≤x≤32或－1≤x－12，即不等式的解集为{x|－1≤x≤2}．(2)∵|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4，∴a4.【规律方法】本题考查带有绝对值的不等式的解法、不等式的恒成立问题.本题的不等式的解法也可以根据几何意义求解，不等式fx≤6，等价于1322xx≤3，其几何意义是数轴上的点x到点－12，32距离之和不大于3，根据数轴可知这个不等式的解区间是[－1，2].考点6不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|的应用例6：(1)不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(A．[－1,4]C．[－2,5])B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)D．(－∞，－1]∪[4，＋∞)解析：由绝对值的几何意义易知，|x＋3|＋|x－1|的最小值为4，所以不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.答案：A(2)若关于x的不等式|x－3|－|x－4|a的解集不是空集，则实数a的取值范围是__________．解析：设y＝|x－3|－|x－4|，－1，x≤3，则y＝2x－7，3x4，图象如图6-6-1.1，x≥4.图6-6-1由图象，可知：－1≤y≤1，∴当a－1时，不等式的解集不是空集．答案：(－1，＋∞)【规律方法】对于比较复杂的含绝对值不等式的问题，若用常规解法需分类讨论，去掉绝对值符号，解法繁琐，而灵活运用绝对值的几何意义，往往能简便、巧妙地将问题解决.【互动探究】1．若不等式|x－4|＋|x－3|a的解集为非空集合，则实数a)的取值范围是(A．a7C．a1B．1a7D．a≥1解析：由题意，得a(|x－4|＋|x－3|)min，|x－4|＋|x－3|≥|x－4－x＋3|，即a1.C2．若不等式|x－a|＋|x－2|≥1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为_______________.a≥3或a≤1解析：设y＝|x－a|＋|x－2|，则ymin＝|a－2|，因为不等式|x－a|＋|x－2|≥1对∀x∈R恒成立，所以|a－2|≥1，解得a≥3，或a≤1.3．(2015年广东广州一模)已知a为实数，则|a|≥1是关于x的绝对值不等式|x|＋|x－1|≤a有解的()BA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件