2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第五章-第5讲-利用几类经典的递推关系式求通项公式

第5讲利用几类经典的递推关系式求通项公式1．了解用通项公式表示数列的方法．2．掌握等差数列、等比数列的通项公式．3．能用等差数列、等比数列的基本思想求其他数列的通项公式．求数列通项的常用方法(1)利用观察法求数列的通项．(2)利用公式法求数列的通项：①等差、等比数列{an}的通项公式；②an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2.(3)应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项：①an＋1＝an＋f(n)；②an＋1＝anf(n)．(4)构造等差、等比数列求通项：①an＋1＝pan＋q；②an＋1＝pan＋qn；③an＋1＝pan＋f(n)；④an＋2＝pan＋1＋qan.1．在数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＝()A.94B.32C.25925D.162．在数列{an}中，若an＋1＝an2an＋1，a1＝1，则a6＝()A．13B.113C．11D.111AD3．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则S4a3＝()A．2B．4C．154D．174C2n－1＋14．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an－1，则an＝_______.考点1递推关系形如“an＋1＝pan＋q”的数列求通项例1：已知数列满足a1＝78，且an＋1＝12an＋13，n∈N*.(1)求证：an－23是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明：由an＋1＝12an＋13，得an＋1－23＝12an－23.又an－23≠0，∴an＋1－23an－23＝12.即数列an－23是等比数列，且公比为12，首项为a1－23.【规律方法】递推关系形如“an＋1＝pan＋q”等价转化为an＋1+λ＝p(an+λ)，利用待定系数法求出λ后，进而转化为等比数列．(2)解：由(1)知，an－23＝a1－2312n－1，且a1＝78.∴an＝a1－2312n－1＋23＝52412n－1＋23＝5312n＋2＋23.【互动探究】1．已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3.求数列{an}的通项公式；解：∵an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)．∴{an＋3}是以2为公比的等比数列，其首项为a1＋3＝4.∴an＋3＝4×2n－1⇒an＝2n＋1－3.考点2递推关系形如“an＋1＝pan＋f(n)”的数列求通项例2：在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)证明：数列{an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.(1)证明：由题设an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.又a1－1＝1，∴数列{an－n}是以首项为1，公比为4的等比数列．(2)解：由(1)知，an－n＝4n－1，于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n.∴数列{an}的前n项和Sn＝1＋4＋42＋…＋4n－1＋1＋2＋…＋n＝4n－13＋nn＋12.【规律方法】递推关系形如“an＋1＝pan＋An＋B”等价转化为an＋1＋An＋1＋B＝pan＋An＋B，利用待定系数法求出A，B后，进而转化为等比数列.【互动探究】2．已知在数列{an}中，a1＝12，an＋1＝12an＋12n(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．解：令an＋1＋A(n＋1)＋B＝12(an＋An＋B)，即an＋1＝12an＋12An－A(n＋1)＋12B－B＝12an－12An－A－12B.比较系数，得－A＝1，－A－12B＝0.解得A＝－1，B＝2.∴an＋1－(n＋1)＋2＝12(an－n＋2)，且a1－1＋2＝32≠0.∴数列{an－n＋2}是等比数列，其公比为12，首项为32.∴an－n＋2＝32×12n－1，即an＝32n＋n－2.考点3递推关系形如“an＋1＝pan＋qn”的数列求通项例3：已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3n，求数列{an}的通项公式．解：方法一：∵an＋1＝2an＋3n，∴an＋12n＝an2n－1＋32n.令an2n－1＝bn，则bn＋1－bn＝32n.∴bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝32n－1＋32n－2＋32n－3＋…＋322＋32＋1＝2×32n－2.∴an＝2n－1bn＝3n－2n.方法二：∵an＋1＝2an＋3n，∴an＋13n＝23·an3n－1＋1.令an3n－1＝bn，则bn＋1＝23bn＋1，转化为“an＋1＝pan＋q”(解法略)．【规律方法】递推关系形如“an＋1＝pan＋qn”的数列求通项，在等式两边同时除以pn＋1，得11nnap＝nnap＋1pnqp，然后累差迭加.【互动探究】3．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(2)求数列{an}的前n项和Sn.(1)设bn＝an2n－1，证明：数列{bn}是等差数列；(1)证明：an＋1＝2an＋2n，an＋12n＝an2n－1＋1.而bn＝an2n－1，故bn＋1＝bn＋1，∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解：由(1)，得bn＝1＋(n－1)＝n.an＝bn·2n－1＝n·2n－1.Sn＝1·20＋2·21＋…＋(n－1)·2n－2＋n·2n－1，2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n.两式相减，得－Sn＝20＋21＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n，即Sn＝n·2n－2n＋1.