赵树嫄《线性代数》第四版课件人大版课件

经济应用数学基础（二）线性代数中国人民大学出版社赵树嫄主编（第四版）线性代数是数学的一个分支，是数学的基础理论课之一。它既是学习数学的必修课，也是学习其他专业课的必修课。课程的性质：内容与任务：1线性代数是研究有限维线性空间及其线性变换的基本理论，包括行列式、矩阵及矩阵的初等变换、线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型等内容。2.既有一定的理论推导，又有大量的繁杂运算。有利于培养学生逻辑思维能力、分析问题和动手解决问题的能力。线性代数不仅为学习后续课程奠定必要的数学基础，而且在工农业生产如国防技术中有着广泛的应用，是理工科以及经管类大学生的一门重要的数学基础课。该课程的特点是：公式多、式子大、符号繁，但规律性强。课程内容比较抽象，需要学生具备一定的抽象思维能力，逻辑推理能力，分析问题能力和动手解决实际问题的能力．用途与特点：为学好这门课程，要求学生要认真上好每一节课，深刻理解每一节课的基本理论，熟练掌握每一节课的重要内容，熟练运用知识点解题，能够收到举一反三，触类旁通的效果。按时完成作业,单周周五交。考查方式:期末考试闭卷---70%;期中考试---10%；平时作业、出勤、小测试---20%。学习与要求：辅导用书:１、高等代数（第三版），北京大学数学系几何与代数小组编．高等教育出版社．２、《线性代数辅导及习题精解》人大第三版罗剑、滕加俊编著．陕西师范大学出版社３、《线性代数习题集》胡显佑、彭勇行主编南开大学出版社４、经济数学基础（第二分册线性代数），龚德恩主编．四川人民出版社．第一章行列式本章主要介绍n阶行列式的定义，性质及其计此外还要介绍用n阶行列式方程组的克莱姆(Cramer)法则．算方法．求解n元线性§1.1二阶、三阶行列式引例二元线性方程组1212111bxaxa2222121bxaxa②①将－①×②×22a12a得211211221122211abbaxaaaa)(同理可得121122211xaaaa)(当21122211aaaa0时，方程组有唯一解：212221baab211222112122211aaaabaabx211222112112112aaaaabbax1212111bxaxa2222121bxaxa1211aa21122211aaaa＋－D2221aa称为二阶行列式，横排的称为行，表示一代数和.21122211aaaa左上角到右下角称为主对角线，右上角到左下角称为竖排的称为列．副对角线．对角线法则：二阶行列式等于主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积．211222112122211aaaabaabx2212aa2111aa1b2b1b1D2b2b2DDDx11DDx2222a12a2b11a21a22211211aaaaD1b1b1212111bxaxa2222121bxaxa211222112112112aaaaabbaxDD21122211aaaa0例１2315例２设,132D(1)当为何值时(2)当为何值时,0D.0D解132D032，03或2531)(1323因此可得：(1)(2)03时,0D03且时.0D例３解二元线性方程组542132121xxxx解D22310此线性方程组有唯一解当或当)(411340211x2x1313212111bxaxaxa2323222121bxaxaxa3333232131bxaxaxa131211aaa232221aaa333231aaaD)(1542132121xxxx4231D51D143154,19135522D1019DD11019103DD210310称为三阶行列式三元线性方程组引例当333231232221131211aaaaaaaaaD0时，方程组(1)有唯一解：333231232221131211aaaaaaaaaD333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa＋＋＋－－－DDx22DDx33DDx11312312aaa322113aaa322311aaa312213aaa332112aaa例460150432130112010126主对角线及其主对角线方向上的三个元素的乘积副对角线及其副对角线方向上的三个元带正号，带负号，所得六项的代数和就是三阶行列式的展开式．素的乘积321)1(10601)1(52043051642)1(03481058101001)1(213008例5,,Rba满足什么条件时有10100abba10100abba解由题可得，即使,022baba,,,Rba.0ba0ba即时，给定的行列式为零．02a2b例61140101aa的充分必要条件是什么？解1140101aa012a1a1a或01140101aa1a或1a02a1练习：计算下列行列式14005310111122xxxx11122xxxx解)1(2xx)1(x12x13x2x1400531011517431作业：7,6),6)(4(13635PP§1.2n阶行列式引例n元线性方程组naaa11211（方程个数＝未知量个数）D⑵列第j22222121bxaxaxann11212111bxaxaxann...................nnnnnnbxaxaxa2211naaa22221nnnnaaa21jDnj,,21nnnnaaaaaan12211111b2bnb(1)?D(2)0D当时，方程组⑵是否有唯一解？(3)解是否,DDxii0D当时，若方程组⑵有唯一解，可以表示成ni,,,21怎样算？可以排成多少个(一)排列与逆序１．排列321,,三个数321312231213132123,,,,,6每一个三位数三级排列。一般地，n,,,321个元素有序数组,niii21称为一个43521如是645321是级排列，是44352级排列是514132××一般地，n级排列!n不重复的三位数?都称为一个将（数码）排成一个n级排列．５级排列，６级排列，共有个２．逆序及其对于n个不同的元素，逆序数可规定各元素之间有一个标准次序（例如，n个不同的自然数，规定从小到大为标准次序）．于是，在这n个元素的任意排列中当某两个元素的前后次序与标准次序不同时,逆序，一个排列中所有逆序的和叫做这个排列的逆序数是奇数的叫奇排列，是偶数的叫就说产生了一个逆序数，偶排列．如53和,46和643521,56和,26和,36和16和.不构成逆序,构成逆序３．逆序数的计算方法)(njjjN21)(njjjN211nt1t即ntniit1的自然数，至不妨设元素为n1并规定从小到大的逆序数，逆序之和就是njjj21为标准次序。级为这个自然数的一个设njjjn21),,(niji21考虑元素,排列个，的逆序是那么iitj个，前面的元素有iitj大，且排在如果比ij全体元素记为521436324151).,(13如的逆序数是是偶排列的逆序数是将632415中的３和１其余不动，612435称为一个对换，此时612435的逆序数是1排列．说明了一个排列经过一个对换，的奇偶性．5214353142),(32)52143(N)53142(N偶奇4312),(134132)4312(N)4132(N奇偶12160412109是奇排列两个数码对调，得到126110是偶记为2改变排列(定理１.１，P5)6754称为相邻对换)(123456N)(45321N)(564123N2)1(nn))()((nnN2241213练习：911))((211nnN2)1(nn000234002333121n121)()(nn定理1.2．(二)nnnnnnaaaaaaaaa212222111211定义1.2即个排列，个数码共有!nn,一半其中奇偶排列各占.2!n各为阶行列式的定义n排成的数表个元素用),,2,1,(2njianij,竖排称为列,,称为列标称为行标中jiaij其中横排称为行，,列行第表示该元素处在第jiija,处在行列的交叉处有时也记为元),(ji333231232221131211aaaaaaaaa322113312312332211aaaaaaaaa322311332112312213aaaaaaaaa231123213312013232123121321321jjjaaa)()(3211jjjN321jjj取遍所有的三级排列22211211aaaa21122211aaaa1221012121jjaa)()(211jjN21jj12取21和nnnnnnaaaaaaaaa212222111211njjj21取遍级排列所有的n个级排列共有!nnija)det(ijaDa)1(就是一阶行列式annjjjaaa2121)(21njjjN２、的一般项称为D行不同列的表示所有可能取自不同排列如果列标的排列是偶是偶排取负号如果列标的排列列标的排列是奇排列则的代数和，各项的符号是：按当这一项的元素中行标自然数顺序排列后，取负号，列标的排列是奇排列则.取正号列标的排列是偶排列则:注,!项阶行列式共有nn且冠以正号和冠以.以负号的项各为一半１、个元素乘积nnnnnnnaaaaaaaaaD212222111211npppnaaa2121取遍级排列所有的nnppp21定义1.2〞nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nppp21nqqq21取遍级排列所有的n与定义1.2′nnqpqpqpaaa2211)()(2121nnqqqNpppN)(21npppN)1()1(（定理1.3.P9）的一般项称为D的一般项称为D个级排列共有!nn例１44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaa,ija42,1,ji14322341aaaa,41342312aaaa41322314aaaa)1324()4231()1(NN)2341()1(N!42411322314aaaa)4321()1(N1×01231)(1√×6)1(解1√?)1(展开式有多少项)2(00031)(?中的一般项是否是ija四阶行列式kji,,例２若是五阶行列式的一项，ija4213425)1452()432()1(kjijNkiNaaaaa则为何值，项符号是什么？此时该,3j解此时5,1ki1,5ki或(1),5,1,3kij)52314()14325(NN若则9取负号．(2)若,1,5,3kij则)52314