2014届高三数学一轮复习-(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)4.2平面向量基本原理及坐标表

[知识能否忆起]一、平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a，一对实数λ1，λ2，使a＝.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组．不共线有且只有基底λ1e1＋λ2e22．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对叫做向量a的坐标，记作a＝，其中叫做a在x轴上的坐标，叫做a在y轴上的坐标．(x，y)(x，y)xy(2)设OA＝xi＋yj，则向量OA的坐标(x，y)就是的坐标，即若OA＝(x，y)，则A点坐标为，反之亦成立．(O是坐标原点)终点A(x，y)二、平面向量坐标运算1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝，a－b＝，λa＝．(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)2．向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝，||＝.ABAB(x2－x1，y2－y1)x2－x12＋y2－y12三、向量平行的坐标表示若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标．若两个向量相对应的坐标，则它们平行．即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且y1≠0，y2≠0，则a∥b⇔.成比例成比例x1y1＝x2y2[小题能否全取]1．(2012·广东高考)若向量AB＝(1,2)，BC＝(3,4)，则AC＝()解析：∵AC＝AB＋BC，∴AC＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．答案：AA．(4,6)B．(－4，－6)C．(－2，－2)D．(2,2)2．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b等于()A．(－2，－1)B．(2,1)C．(3，－1)D．(－3,1)解析：由a∥b可得2×(－2)－1×x＝0，故x＝－4，所以a＋b＝(－2，－1)．答案：A3．(教材习题改编)已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与AB同向的单位向量是()A.35，－45B.－35，45C.－45，35D.45，－35解析：∵A(4,1)，B(7，－3)，∴AB＝(3，－4)，∴与AB同向的单位向量为AB|AB|＝35，－45.答案：A4．下列各组向量：①e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)；②e1＝(3,5)，e2＝(6,10)；③e1＝(2，－3)，e2＝12，－34，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是________．解析：②中e2＝2e1，③中e1＝4e2，故②③中e1，e2共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底．答案：①5．梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别是CD，AB的中点，设AB＝a，AD＝b.若MN＝ma＋nb，则nm＝________.解析：∵MN＝MD＋DA＋AN＝－14a－b＋12a＝14a－b，∴m＝14，n＝－1.∴nm＝－4.答案：－41.基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．2．向量坐标与点的坐标的区别要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．平面向量基本定理及其应用[例1](2012·苏北四市联考)如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设AD＝a，AB＝b，若AB＝2DC，则AO＝________(用向量a和b表示)．[自主解答]∵AB＝2DC，∴△DOC∽△BOA，且OCOA＝12，∴AO＝23AC＝23(AD＋DC)＝23a＋12b＝23a＋13b.[答案]23a＋13b用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，也就是利用已知向量表示未知向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．1．(1)(2012·南宁模拟)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，AN＝λAB＋μAC，则λ＋μ的值为()A.12B.13C.14D．1(2012·常德模拟)如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包含边界)．设OP＝mOP1＋nOP2，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足()A．m0，n0B．m0，n0C．m0，n0D．m0，n0解析：设CM＝mCB＝m(AB－AC)(0≤m≤1)，则AM＝AC＋CM＝(1－m)AC＋mAB，AN＝12AM＝m2AB＋1－m2AC，所以λ＋μ＝m2＋1－m2＝12.(2)由题意及平面向量基本定理易得在OP＝mOP1＋nOP2中m0，n0.答案：(1)A(2)B[例2](1)(2013·西城期末)已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－2)．若实数k与向量c满足a＋2b＝kc，则c可以是()平面向量的坐标运算A．(3，－1)B．(－1，－3)C．(－3，－1)D．(－1,3)(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c.①求3a＋b－3c；②求满足a＝mb＋nc的实数m，n.[自主解答](1)∵a＝(3，1)，b＝(0，－2)，∴a＋2b＝(3，－3)＝－3(－1，3)．(2)由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．[答案](1)D①3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．②∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.本例中第(2)题增加条件CM＝3c，ON＝2b，求M，N的坐标及向量MN的坐标．解：∵CM＝OM－OC＝3c，∴OM＝3c＋OC＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵CN＝ON－OC＝－2b，∴ON＝－2b＋OC＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)．M（0，20）,N（9,2）∴MN＝(9，－18)．1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．[注意]向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点的坐标都发生变化，但向量的坐标不变．2．(2012·淮安模拟)已知向量a＝(6,4)，b＝(0,2)，OC＝a＋λb，O为坐标原点，若点C在函数y＝sinπ12x的图象上，则实数λ的值为________．解析：由题意得OC＝(6,4)＋λ(0,2)＝(6,4＋2λ)，故点C的坐标为(6,4＋2λ)，根据条件得4＋2λ＝sin6π12＝1，解得λ＝－32.答案：－32[例3](2011·广东高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c则λ＝()平面向量共线的坐标表示A.14B.12C．1D．2[自主解答]可得a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c得(1＋λ)×4－3×2＝0，所以λ＝12.[答案]B在本例条件下，问是否存在非零常数λ，使a＋λb和a－λc平行？若平行是同向还是反向？解：∵a＋λb＝(1＋λ，2)，a－λc＝(1－3λ，2－4λ)，若(a＋λb)∥(a－λc)，∴(1＋λ)(2－4λ)－2(1－3λ)＝0.∴λ＝1.∴a＋λb＝(2,2)与a－λc＝(－2，－2)反向．即存在λ＝1使a＋λb与a－λc平行且反向．a∥b的充要条件有两种表达方式(1)a∥b(b≠0)⇔a＝λb(λ∈R)；(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.两种充要条件的表达形式不同．第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b≠0，而第(2)种无b≠0限制．3．(1)(2013·北京东城区综合练习)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则mn＝()A．－2B．2C．－12D.12解析：由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，因为ma＋nb与a－2b共线，所以(2m－n)×(－1)－(3m＋2n)×4＝0，整理得mn＝－12.答案:C(2)(2012·嘉兴模拟)已知a，b是不共线的向量，AB＝λa＋b，AC＝a＋μb，λ，μ∈R，那么A，B，C三点共线的充要条件为()A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1解析：∵A，B，C三点共线，∴存在实数t，满足AB＝tAC，即λa＋b＝ta＋μtb，又a，b是不共线的向量，∴λ＝t，1＝μt，即λμ＝1.答案:D[典例]如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用c，d表示AB，AD.[解]在△ADM中，AD＝AM－DM＝c－12AB.①在△ABN中，AB＝AN－BN＝d－12AD.②由①②得AB＝23(2d－c)，AD＝23(2c－d)．[题后悟道]本题求解利用了方程思想，首先利用三角形法则表示出向量AB，AD，然后解关于AB，AD的方程组，方程思想在利用平面向量基本定理求参数经常用到．所谓方程思想，是指在解决问题时，用事先设定的未知数表示问题中所涉及的各量间的等量关系，建立方程或方程组，求出未知数及各量的值，或者用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．针对训练设e1、e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a、b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.解析：∵e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)，∴m－n＝1，2m＋n＝1，∴m＝23，n＝－13.答案：23－13教师备选题（给有能力的学生加餐）1．已知向量a＝(3，1)，b＝(sinα－m，cosα)，且a∥b，则实数m的最小值为()A．－2B．－1C．－2D．－3答案：A解析：∵a∥b，∴3cosα－sinα＋m＝0.∴m＝sinα－3cosα＝2sinα－π3≥－2.解题训练要高效见“课时跟踪检测（二十七）”2．(2012·洛阳质检)已知向量a＝8，x2，b＝(x,1)，其中x0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x＝________.解析：a－2b＝8－2x，x2－2，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，由题意得(8－2x)·(x＋1)＝x2－2·(16＋x)，整理得x2＝16，又x0，所以x＝4.答案：43．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．求：(1)|a＋3b|；(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？解：(1)因为a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(7,3)，故|a＋3b|＝72＋32＝58.(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)，因为ka－b与a＋3b平行，所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－13.此时ka－b＝(k－2，－1)＝－73，－1，a＋3b＝(7,3)，则a＋3b＝－3(ka－b)，即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．