2016海淀区高三文科数学期末试题及答案

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）2016.1本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.复数(1i)(1i)A.2B.1C.1D.22.已知数列{}na是公比为2的等比数列，且满足4320aaa，则4a的值为A.2B.4C.8D.163.如图,正方形ABCD中，E为DC的中点，若AEABAC，则的值为A.12B.12C.1D.14.如图，在边长为3的正方形内有区域A（阴影部分所示），张明同学用随机模拟的方法求区域A的面积.若每次在正方形内每次随机产生10000个点,并记录落在区域A内的点的个数.经过多次试验，计算出落在区域A内点的个数平均值为6600个，则区域A的面积约为A.5B.6C.7D.85.某程序框图如图所示，执行该程序，如输入的a值为1，则输出的a值为A.1B.2C.3D.56.若点(2,3)不在．．不等式组0,20,10xyxyaxy表示的平面区域内，则实数a的取值范围是A.(,0)B.(1,)C.(0,)D.(,1)EABCD输出输入开始结束是否7.已知函数,1,()πsin,1,2xxfxxx则下列结论正确的是A．000,()()xfxfxRB．,()()xfxfxRC．函数()fx在ππ[,]22上单调递增D．函数()fx的值域是[1,1]8.已知点(5,0)A，抛物线2:4Cyx的焦点为F，点P在抛物线C上，若点F恰好在PA的垂直平分线上，则PA的长度为A.2B.22C.3D.4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9.若lglg1ab，则___.ab10.已知双曲线2221(0)yxbb的一条渐近线通过点(1,2),则___,b其离心率为__.11.某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为___.12.直线l经过点(,0)At，且与曲线2yx相切，若直线l的倾斜角为45，则___.t13.已知圆22()4xay截直线4yx所得的弦的长度为为22，则__.a14.已知ABC，若存在111ABC，满足111coscoscos1sinsinsinABCABC,则称111ABC是ABC的一个“友好”三角形.(i)在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是____：（请写出符合要求的条件的序号）①90,60,30ABC；②75,60,45ABC；③75,75,30ABC.(ii)若ABC存在“友好”三角形，且70A，则另外两个角的度数分别为___.俯视图2左视图22主视图三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15.（本小题满分13分）等差数列{}na的首项11a，其前n项和为nS，且3547aaa.（Ⅰ）求{}na的通项公式；（Ⅱ）求满足不等式32nnSa的n的值.16.（本小题满分13分）已知函数()2cos(sincos)1fxxxx.（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期；（Ⅱ）求函数()fx在区间ππ[,]612上的最大值与最小值的和.17.（本小题满分13分）为了研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度t满足：27c30ct）的生长状况，某农学家需要在十月份去某地进行为期十天的连续观察试验.现有关于该地区10月份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：c）的记录如下：(Ⅰ)根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期.(Ⅱ)设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高温度的方差和最低温度的方差分别为12,DD，估计12,DD的大小？（直接写出结论即可）.(Ⅲ)从10月份31天中随机选择连续三天，求所选3天每天日平均最高温度值都．在[27，30]之间的概率.18.（本小题满分14分）如图，四边形ABCD是菱形，PD平面ABCD，PDBE，22ADPDBE,60DAB，点F为PA的中点.（Ⅰ）求证：EF平面ABCD；（Ⅱ）求证：平面PAE平面PAD；FEBAPDC温度（Ⅲ）求三棱锥PADE的体积.19.（本小题满分13分）已知函数1()ln,0.fxkxkx（Ⅰ）当1k时，求函数()fx单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x的方程()fxk有解，求实数k的取值范围.20.（本小题满分14分）如图，椭圆2222:1(0)xyWabab的离心率为32，其左顶点A在圆22:16Oxy上.（Ⅰ）求椭圆W的方程；（Ⅱ）直线AP与椭圆W的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q.（i）当82||5AP时，求直线AP的斜率；（ii）是否存在直线AP，使得||3||PQAP?若存在，求出直线AP的斜率；若不存在，说明理由.yxOBA海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数学（文科）2016.1阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案ACABCBDD二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.题号91011121314答案102,54142或6②；4565，说明：第1３题少写一个减３分，错的则不得分第14题第一空3分，第二空2分，第二问少或错写的都不得分三、解答题:本大题共6小题，共80分.15．解：（Ⅰ）设数列{}na的公差为d.…………………………….1分因为3547aaa，所以112637adad.………………………….3分因为11a，所以36d，即2d,…………………………….5分所以1(1)21naandn.…………………………….7分（Ⅱ）因为11a，21nan，所以212nnaaSnn,…………………………….9分所以23(21)2nn，所以2650nn,…………………………….11分解得15n，所以n的值为2,3,4.……………………….13分16.解：（Ⅰ）因为()2cos(sincos)1fxxxxsin2cos2xx…………………………….4分π2sin(2)4x…………………………….6分所以函数()fx的最小正周期2ππ||T.…………………………….8分（Ⅱ）因为ππ[,]612x，所以ππ2[,]36x，所以πππ(2)[]41212x，,………………………….9分根据函数()sinfxx的性质，当ππ2412x时，函数()fx取得最小值π2sin()12，…………………….10分当ππ2412x时，函数()fx取得最大值π2sin12.………………………….11分因为ππ2sin()2sin()01212，所以函数()fx在区间ππ[,]612x上的最大值与最小值的和为0.…………………………….13分17．解：（Ⅰ）农学家观察试验的起始日期为7日或8日.……………………….3分（少写一个扣1分）（Ⅱ）最高温度的方差大.…………………………….6分（Ⅲ）设“连续三天平均最高温度值都在[27，30]之间”为事件A，……………………….7分则基本事件空间可以设为{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),...,(29,20,31)}，共计29个基本事件…………………………….9分由图表可以看出，事件A中包含10个基本事件，……………………….11分所以10()29PA，…………………………….13分所选3天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率为1029.18．解：（Ⅰ）取AD中点G，连接,FGBG因为点F为PA的中点，所以FGPD且12FGPD…………………………….1分又BEPD，且12BEPD，所以,,BEFGBEFG所以四边形BGFE为平行四边形.…………………………….2分所以,EFBG又EF平面ABCD，BG平面ABCD,…………………………….3分所以EF平面ABCD.…………………………….4分（Ⅱ）连接BD.因为四边形ABCD为菱形，=60DAB，所以ABD为等边三角形.因为G为AD中点，所以BGAD，…………………………….6分又因为PD平面ABCD，BG平面ABCD，所以PDBG，………………………….7分又PDADD，,PDAD平面PAD，…………………………….8分所以BG平面PAD.…………………………….9分又,EFBG所以EF平面PAD，又EF平面PAE，所以平面PAE平面PAD.…………………………….10分法二：因为四边形ABCD为菱形，=60DAB，所以ABD为等边三角形.因为G为AD中点，所以BGAD，…………………………….6分又因为PD平面ABCD，PD平面PAD，所以平面PAD平面ABCD，…………………………….7分又平面PADABCDAD平面，BG平面ABCD,………………………….8分所以BG平面PAD.…………………………….9分又,EFBG所以EF平面PAD，又EF平面PAE，所以平面PAE平面PAD.………………………….10分（Ⅲ）因为122PADSPDAD，…………………………….12分GFEBAPDC3EFBG,所以12333PADEPADVSEF.…………………………….14分19．解：（Ⅰ）函数1()lnfxkxx的定义域为(0)，.…………………………….1分21'()kfxxx.…………………………….3分当1k时，22111'()xfxxxx,令'()0fx，得1x，…………………………….4分所以'(),()fxfx随x的变化情况如下表：x(0,1)1(1,)'()fx0()fx极小值…………………………….6分所以()fx在1x处取得极小值(1)1f,无极大值.………………….7分()fx的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,).……………….8分（Ⅱ）因为关于x的方程()fxk有解,令()()gxfxk，则问题等价于函数()gx存在零点,…………………….9分所以2211'()kkxgxxxx.…………………………….10分令'()0gx，得1xk.当0k时，'()0gx对(0,)成立，函数()gx在(0,)上单调递减，而(1)10gk，1111111111()(1)110eeekkkgekkk，所以函数()gx存在零点.…………………………….11分当0k时，'(),()gxgx随x的变化情况如下表：x1(0,)k1k1(,)k'()gx0+()gx↘极小值↗所以11()lnlngkkkkkkk为函数()gx的最小值,当1()0gk时，即01k时，函数()gx没有零点,当1()0gk时，即1k时，注意到1()0gkkee,所以函数()gx存在零点.综上，当0k或1k时，关于x的方程()fxk有解.………………….13分法二：因为关于x的方程()fxk有解，所以问题等价于方程1(ln1)0kxx有解，………………………….9分令g()(ln1)1xkxx，所以'()lngxkx,………………………….10分令'()0gx，得1x当0k时，'(),()gxgx随x的变化情况如下表：x(0,1)1(1,)'()gx0()gx↗极大值↘所以函数g()x在1x处取得最大值，而g(1)(1)10k.1111111(e)1e(11)1e0kkk