2014--2015年朝阳区高三文科数学期末试题及答案

北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类）2015.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设i为虚数单位，则复数1iz的模z=A.1B.2C.2D.222.已知全集UR，若集合20Axxx，则UAðA.0xx，或1xB.0xx，或1xC.01xxD.1xx3.一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A.1B.2C.3D.4正视图侧视图俯视图4.执行如右图所示的程序框图,则输出的i的值是A.3B.4C.5D.65.若,ab是两个非零的平面向量，则“a=b”是“()()=0a+bab”的A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.如图，塔AB底部为点B，若,CD两点相距为100m并且与点B在同一水平线上，现从,CD两点测得塔顶A的仰角分别为45o和30o，则塔AB的高约为（精确到0.1m，31.73，21.41）A.36.5B.115.6C.120.5D.136.5DBAC7.已知定义在R上的函数(1)1,()221,xxxxfxx若直线ya与函数()fx的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是A.0,2B.0,2C.0,2D.1,28.如图，在正方体中1111ABCDABCD，M为BC的中点，点N在四边形11CDDC及其内部运动．若11MNAC，则N点的轨迹为A.线段B.圆的一部分C.椭圆的一部分D.双曲线的一部分第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．9.双曲线22:14xCy的离心率是；渐近线方程是．10.为了解某厂职工家庭人均月收入情况,调查了该厂80户居民月收入,列出频率分布表如下:按家庭人均月收入分组(百元)第一组10,16第二组16,22第三组22,28第四组28,34第五组34,40第六组40,46频率0.10.20.15a0.10.1则这80户居民中,家庭人均月收入在2800,3400元之间的有户（用数字作答）；假设家庭人均月收入在第一组和第二组的为中低收入家庭,现从该厂全体职工家庭中随机抽取一个家庭,估计该家庭为中低收入家庭的概率是.ABCDA1B1C1D1MN.11.已知圆C的圆心位于第二象限且在直线21yx上，若圆C与两个坐标轴都相切，则圆C的标准方程是______.12.某单位有职工共60人，为了开展社团活动，对全体职工进行问卷调查，其中喜欢体育运动的共28人，喜欢文艺活动的共26人，还有12人对体育运动和文艺活动都不喜欢，则喜欢体育运动但不喜欢文艺活动的人共有人.13.在平面直角坐标系中，若关于,xy的不等式组0,,(1)yyxykx表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是______.14.设2212()cos(1)sincos3sinfxaxaxxx（22120aa），若无论x为何值，函数()fx的图象总是一条直线，则12aa的值是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）某幼儿园有教师30人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：本科研究生合计35岁以下52735～50岁（含35岁和50岁）1732050岁以上213（Ⅰ）从该幼儿园教师中随机抽取一人，求具有研究生学历的概率；（Ⅱ）从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，求有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率.16.（本小题满分13分）已知平面向量a=(sin,cos)xx，b=(sin,cos)xx，c=(cos,sin)xx，xR，函数()()fxabc.（Ⅰ）求函数()fx的单调递减区间；（Ⅱ）若222f，求sin的值.17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD平面ABCD．点E是线段BD的中点，点F是线段PD上的动点．（Ⅰ）若F是PD的中点，求证：EF//平面PBC；（Ⅱ）求证：CEBF；（Ⅲ）若2AB，3PD，当三棱锥PBCF的体积等于43时，试判断点F在边PD上的位置，并说明理由.1188..（本小题满分13分）已知公比为q的等比数列na()nN中，22a，前三项的和为7.（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）若01q，设数列{}nb满足12...nnbaaa，nN,求使01nb的n的最小值.19.（本小题满分13分）已知函数()elnxfxax，aR.（I）若1x是()fx的极值点，求a的值：（Ⅱ）当ea时，求证：()efx.DAPCEFB20.（本小题满分14分）已知离心率为32的椭圆2222:1(0)xyCabab与直线2x相交于,PQ两点（点P在x轴上方），且2PQ．点,AB是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，且APQBPQ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求四边形APBQ面积的取值范围．S15?北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（文史类）2015.1一、选择题：（满分40分）题号12345678答案BADBCDBA二、填空题：（满分30分）题号91011121314答案52；12yx28;0.322111)()339x+y（220k4（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分）15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设：“从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历”为事件A，由题可知幼儿园总共有教师30人，其中“具有研究生学历”的共6人.则61()==305PA.答：从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历的概率为15.………4分（Ⅱ）设幼儿园中35岁以下具有研究生学历的教师为A1，A2，35～50岁(含35岁和50岁)具有研究生学历的教师为B1，B2，B3，50岁以上具有研究生学历的教师为C，从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，所有可能结果有15个，它们是：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），（B2，B3），（B2，C），（B3，C），记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生”为事件D，则D中的结果共有12个，它们是：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），（B1，C），（B2，C），（B3，C），故所求概率为124()==155PD．答：从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率为45.………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）因为a=(sin,cos)xx，b=(sin,cos)xx，c=(cos,sin)xx，所以()sincos,sincosxxxxbc，()()fxabc=sin(sincos)cos(sincos)xxxxxx.则()fx22sin2sincoscosxxxx=sin2cos2xx2sin(2)4x.则当222242kxk时，即88kxk时，函数()fx为减函数，kZ.所以函数()fx的单调递减区间是,88kk，kZ.………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()2sin(2)4fxx，又222f，则22sin()42，1sin()42.因为22sin()cos()144，所以3cos()42.sinsin()44ππππsin()coscos()sin4444.所以当3cos()42时，sin12326222224；当3cos()42时，sin123226()22224.………………13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在PDB中，因为点E是BD中点，点F是PD中点，所以EF//PB．又因为EF平面PBC，PB平面PBC，所以EF//平面PBC．…………4分（Ⅱ）证明：因为PD平面ABCD，且CE平面ABCD，所以PDCE．又因为底面ABCD是正方形，且点E是BD的中点，所以CEBD．因为BDPDD，所以CE平面PBD，而BF平面PBD，所以CEBF．…………9分（Ⅲ）点F为边PD上靠近D点的三等分点．说明如下：由（Ⅱ）可知，CE平面PBF．又因为PD平面ABCD，BD平面ABCD，所以PDBD.设PFx．由2AB得22BD，2CE，所以11122223263PBCFCBPFVVPFBDCExx．由已知2433x，所以2x．因为3PD，所以点F为边PD上靠近D点的三等分点．…………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）由已知得，212327aaaa，解得2q，11a或12q，14a．则数列na的通项公式为12nna或31()2nna，nN……………5分（Ⅱ）因为01q，所以31()2nna，nN.(5)210...(3)21211...()()22nnnnnbaaa，nN.DAPCEFB由01nb，即(5)210()12nn，即(5)02nn，即即5n.则使01nb的最小的n的值为6．…………………13分19.（本小题满分13分）（I）函数()fx的定义域为(0,).因为()exafxx,又1x是()fx的极值点,所以(1)e0fa，解得ea.经检验，1x是()fx的极值点，所以a的值为e.………5分（Ⅱ）证明：方法1：当ea时，()eelnxfxx.所以eee()exxxfxxx.若01x，则1eex，所以eexx，所以ee0xx.所以函数()fx在(0,1)单调递减.若1x，则eex，所以eexx，所以ee0xx.所以函数()fx在(1,)单调递增.所以当1x时，min()(1)efxf.(0x时，eelnxx;x时，eelnxx.)所以()efx.………13分方法2：当ea时，()eelnxfxx，所以eee()exxxfxxx.设()eexgxx，则()e(1)xgxx，所以()gx在(0,)单调递增.又(1)0g，所以当(0,1)x时，()0gx，即()0fx，所以()fx在(0,1)单调递减；当(1,)x时，()0gx，即()0fx，所以()fx在(1,)单调递增.（接下来表述同解法1相应内容）所以()efx.………13分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得32e，则12ba，设椭圆方程为22221(0)4xybbb由题意可知点(2,1)P在椭圆上，所以224114bb．解得22b．故椭圆C的标准方程为22182xy．………4分（Ⅱ）由题意可知，直线PA，直线PB的斜率都存在且不等于0．因为APQBPQ，所以PAPBkk．设直线PA的斜率为k，则直线:1(