2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1练习：第2章 圆锥曲线与方程2.3.2 Word版含

第二章2.32.3.2A级基础巩固一、选择题1．过抛物线y2＝2px(p0)的焦点且垂直于x轴的弦为AB，O为抛物线顶点，则∠AOB的大小导学号03624559(C)A．小于90°B．等于90°C．大于90°D．不能确定[解析]过抛物线焦点且垂直于x轴的弦AB为通径，其长度为2p，又顶点到通径的距离为p2，由三角函数知识可知，∠AOB大于90°.2．若AB为抛物线y2＝4x的弦，且A(x1,4)、B(x2,2)，则|AB|＝导学号03624560(B)A．13B．13C．6D．4[解析]代入点A，B可得x1＝4，x2＝1，由两点间距离公式得|AB|＝13.3．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为导学号03624561(B)A．(14，±24)B．(18，±24)C．(14，24)D．(18，24)[解析]设焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|，又F(14，0)，∴x0＝18，∴y20＝18，∴y0＝±24，故选B．4．已知P(8，a)在抛物线y2＝4px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为导学号03624562(B)A．2B．4C．8D．16[解析]根据题意可知，P点到准线的距离为8＋p＝10，可得p＝2，所以焦点到准线的距离为2p＝4，选B．5．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为导学号03624563(C)A．34B．1C．54D．74[解析]设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由|AF|＋|BF|＝3得，x1＋x2＋12＝3，∴x1＋x2＝52，∴线段AB的中点到y轴的距离为x1＋x22＝54.6．(2017·全国Ⅱ文，12)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为3的直线交于C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为导学号03624564(C)A．5B．22C．23D．33[解析]抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝3(x－1)．联立得方程组y＝3x－1，y2＝4x，解得x＝13，y＝－233或x＝3，y＝23.∵点M在x轴的上方，∴M(3,23)．∵MN⊥l，∴N(－1,23)．∴|NF|＝1＋12＋0－232＝4，|MF|＝|MN|＝3＋12＋23－232＝4.∴△MNF是边长为4的等边三角形．∴点M到直线NF的距离为23.故选C．二、填空题7．过点M(3,2)作直线l与抛物线y2＝8x只有一个交点，这样的直线共有__1__条.导学号03624565[解析]∵点M(3,2)在抛物线内部，∴过点M平行于x轴的直线y＝2与抛物线y2＝8x只有一个交点．8．若抛物线y2＝－2px(p0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为__(－9，－6)或(－9,6)__.导学号03624566[解析]由抛物线方程y2＝－2px(p0)，得其焦点坐标为F－p2，0，准线方程为x＝p2，设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即p2－(－9)＝10，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.将M(－9，y)代入抛物线方程，得y＝±6，∴M(－9,6)或M(－9，－6)．三、解答题9．(2016·山东聊城高二检测)抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的标准方程.导学号03624567[解析]如图，依题意可设抛物线标准方程为y2＝2px(p0)，则直线方程为y＝－x＋12p.设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，过A、B分别作准线的垂线，垂足为C、D，则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋p2＋x2＋p2，即x1＋x2＋p＝8.①又A(x1，y1)、B(x2，y2)是直线和抛物线的交点，由y＝－x＋12py2＝2px，消去y得x2－3px＋p24＝0.∴x1＋x2＝3p.将其代入①，得p＝2.∴所求的抛物线标准方程为y2＝4x.当抛物线方程设为y2＝－2px(p0)时，同理可求得抛物线标准方程为y2＝－4x.B级素养提升一、选择题1．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝导学号03624568(C)A．2或－2B．－1C．2D．3[解析]由y2＝8xy＝kx－2，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，则4k＋2k2＝4，即k＝2.2．(2016·山东聊城高二检测)已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，M、N是该抛物线上两点，|MF|＋|NF|＝6，则MN中点的横坐标为导学号03624569(B)A．32B．2C．52D．3[解析]F是抛物线y2＝4x的焦点，F(1,0)，准线方程x＝－1，设M(xM，yM)、N(xN，yN)，∴|MF|＋|NF|＝xM＋1＋xN＋1＝6，解得xM＋xN＝4，∴MN中点的横坐标为xM＋xN2＝2.3．等腰Rt△ABO内接于抛物线y2＝2px(p0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是导学号03624570(B)A．8p2B．4p2C．2p2D．p2[解析]设点A在x轴的上方，则由抛物线的对称性及OA⊥OB知，直线OA的方程为y＝x.由y＝xy2＝2px，得A(2p,2p)．则B(2p，－2p)，所以AB＝4p.所以S△ABO＝12·4p·2p＝4p2.4．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点O为坐标原点，则OA→·OB→的值是导学号03624571(D)A．12B．－12C．3D．－3[解析]设A(y214，y1)、B(y224，y2)，则OA→＝(y214，y1)，OB→＝(y224，y2)，则OA→·OB→＝(y214，y1)·(y224，y2)＝y21y2216＋y1y2，又∵AB过焦点，则有y1y2＝－p2＝－4，∴OA→·OB→＝y1y2216＋y1y2＝－4216－4＝－3，故选D．5．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是导学号03624572(B)A．355B．2C．115D．3[解析]由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|42＋－32＝2.故选B．二、填空题6．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A、B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为__a≥1__.导学号03624573[解析]本题考查了直角三角形的性质．抛物线的范围以及恒成立问题，不妨设A(a，a)，B(－a，a)，C(x0，x20)，则CB→＝(－a－x0，a－x20)，CA→＝(a－x0，a－x20)，∵∠ACB＝90°.∴CA→·CB→＝(a－x0，a－x20)·(－a－x0，a－x20)＝0.∴x20－a＋(a－x20)2＝0，则x20－a≠0.∴(a－x20)(a－x20－1)＝0，∴a－x20－1＝0.∴x20＝a－1，又x20≥0.∴a≥1.7．P为抛物线y＝x2上一动点，直线l：y＝x－1，则点P到直线l距离的最小值为328.导学号03624574[解析]设P(x0，x20)为抛物线上的点，则P到直线y＝x－1的距离d＝|x0－x20－1|2＝|x20－x0＋1|2＝x0－122＋342.∴当x0＝12时，dmin＝328.三、解答题8．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点．若|AF|＝3，求|BF|的长.导学号03624575[解析]设点A(x1，y1)、B(x2，y2)，由|AF|＝3及抛物线定义可得，x1＋1＝3，∴x1＝2，∴A点坐标为(2,22)，则直线AB的斜率为k＝22－02－1＝22.∴直线AB的方程为y＝22(x－1)．由y2＝4xy＝22x－1，消去y得，2x2－5x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝12.∴|BF|＝x2＋1＝32.C级能力提高1．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，设|FA||FB|，则|FA||FB|＝3＋22.导学号03624576[解析]抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，过F斜率为1的直线方程为y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝x－1y2＝4x，消去y得x2－6x＋1＝0，求得x1＝3＋22，x2＝3－22，故由抛物线的定义可得|FA||FB|＝x1＋1x2＋1＝3＋22.2．(2017·全国Ⅰ文，20)设A，B为曲线C：y＝x24上两点，A与B的横坐标之和为4.导学号03624577(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．[解析](1)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝x214，y2＝x224，x1＋x2＝4，于是直线AB的斜率k＝y1－y2x1－x2＝x1＋x24＝1.(2)解：由y＝x24，得y′＝x2.设M(x3，y3)，由题设知x32＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.将y＝x＋m代入y＝x24得x2－4x－4m＝0.当Δ＝16(m＋1)0，即m－1时，x1,2＝2±2m＋1.从而|AB|＝2|x1－x2|＝42m＋1.由题设知|AB|＝2|MN|，即42m＋1＝2(m＋1)，解得m＝7.所以直线AB的方程为y＝x＋7.