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《第24章圆》(北京市西城区重点中学)一、填空题1.已知点O为△ABC的外心,若∠A=80°,则∠BOC的度数为()A.40°B.80°C.160°D.120°2.点P在⊙O内,OP=2cm,若⊙O的半径是3cm,则过点P的最短弦的长度为()A.1cmB.2cmC.cmD.cm3.已知A为⊙O上的点,⊙O的半径为1,该平面上另有一点P,,那么点P与⊙O的位置关系是()A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上C.点P在⊙O外D.无法确定4.如图:点A、B、C、D为⊙O上的四等分点,动点P从圆心O出发,沿O﹣C﹣D﹣O的路线做匀速运动.设运动的时间为t秒,∠APB的度数为y.则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是()A.B.C.D.5.在平面直角坐标系中,以点(2,3)为圆心,2为半径的圆必定()A.与x轴相离,与y轴相切B.与x轴,y轴都相离C.与x轴相切,与y轴相离D.与x轴,y轴都相切6.如图,⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°,切线CD与AB的延长线交于点D,若⊙O的半径为2,则CD的长为()A.2B.4C.2D.47.如图,△PQR是⊙O的内接正三角形,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,BC∥QR,则∠DOR的度数是()A.60B.65C.72D.758.如图,⊙A,⊙B,⊙C,⊙D,⊙E互相外离,它们的半径都是1,顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE,则图中五个扇形(阴影部分)的面积是()A.πB.1.5πC.2πD.2.5π二、选择题9.如图,直角坐标系中一条圆弧经过网格点A,B,C,其中B点坐标为(4,4),则该圆弧所在圆的圆心坐标为.10.如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2cm,⊙A与BC相切于点D,则⊙A的半径长为cm.11.善于归纳和总结的小明发现,“数形结合”是初中数学的基本思想方法,被广泛地应用在数学学习和解决问题中.用数量关系描述图形性质和用图形性质描述数量关系,往往会有新的发现.小明在研究垂直于直径的弦的性质过程中(如图,直径AB⊥弦CD于点E,设AE=x,BE=y,用含x,y的式子表示图中的弦CD的长度),通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系,发现了一个关于正数x,y的不等式,你也能发现这个不等式吗?写出你发现的不等式.12.如图,∠AOB=30°,OM=6,那么以M为圆心,4为半径的圆与直OA的位置关系是.13.如图,△ABC内接于⊙O,∠B=∠OAC,OA=8cm,则AC=cm.14.阅读下面材料:在数学课上,老师请同学思考如下问题:小亮的作法如下:老师说:“小亮的作法正确.”请你回答:小亮的作图依据是.三、解答题(7+7+8+8)15.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D,切线DE⊥AC,垂足为点E.求证:(1)△ABC是等边三角形;(2).16.《九章算术》是中国传统数学重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架.《九章算术》中记载:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,间径几何?”(如图①)阅读完这段文字后,小智画出了一个圆柱截面示意图(如图②),其中BO⊥CD于点A,求间径就是要求⊙O的直径.再次阅读后,发现AB=寸,CD=寸(一尺等于十寸),通过运用有关知识即可解决这个问题.请你补全题目条件,并帮助小智求出⊙O的直径.17.如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD.(1)P是上一点(不与C、D重合),求证:∠CPD=∠COB;(2)点P′在劣弧CD上(不与C、D重合)时,∠CP′D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论.18.如图,已知△ABC是等边三角形,以AB为直径作⊙O,交BC边于点D,交AC边于点F,作DE⊥AC于点E.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若△ABC的边长为4,求EF的长度.《第24章圆》(北京市西城区重点中学)参考答案与试题解析一、填空题1.已知点O为△ABC的外心,若∠A=80°,则∠BOC的度数为()A.40°B.80°C.160°D.120°【考点】三角形的外接圆与外心.【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=160°.【解答】解:∵点O为△ABC的外心,∠A=80°,∴∠BOC=2∠A=160°.故选C.【点评】熟练运用圆周角定理计算,即在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.2.点P在⊙O内,OP=2cm,若⊙O的半径是3cm,则过点P的最短弦的长度为()A.1cmB.2cmC.cmD.cm【考点】垂径定理;勾股定理.【专题】计算题.【分析】过P作AB⊥OP交圆与A、B两点,连接OA,故AB为最短弦长,再解Rt△OPA,即可求得AB的长度,即过点P的最短弦的长度.【解答】解:过P作AB⊥OP交圆与A、B两点,连接OA,如下图所示:故AB为最短弦长,由垂径定理可得:AP=PB已知OA=3,OP=2在Rt△OPA中,由勾股定理可得:AP2=OA2﹣OP2∴AP==cm∴AB=2AP=2cm故此题选D.【点评】本题考查了最短弦长的判定以及垂径定理的运用.3.已知A为⊙O上的点,⊙O的半径为1,该平面上另有一点P,,那么点P与⊙O的位置关系是()A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上C.点P在⊙O外D.无法确定【考点】点与圆的位置关系.【分析】根据题意可知点P可能在圆外也可能在圆上,也可能在圆内,所以无法确定.【解答】解:∵PA=,⊙O的直径为2∴点P的位置有三种情况:①在圆外,②在圆上,③在圆内.故选D.【点评】本题考查了圆的认识,做题时注意多种情况的考虑.4.如图:点A、B、C、D为⊙O上的四等分点,动点P从圆心O出发,沿O﹣C﹣D﹣O的路线做匀速运动.设运动的时间为t秒,∠APB的度数为y.则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是()A.B.C.D.【考点】动点问题的函数图象.【分析】根据题意,分P在OC、CD、DO之间3个阶段,分别分析变化的趋势,又由点P作匀速运动,故①③都是线段,分析选项可得答案.【解答】解:根据题意,分3个阶段;①P在OC之间,∠APB逐渐减小,到C点时,为45°,②P在CD之间,∠APB保持45°,大小不变,③P在DO之间,∠APB逐渐增大,到O点时,为90°;又由点P作匀速运动,故①③都是线段;分析可得:B符合3个阶段的描述;故选:B.【点评】本题主要考查了函数图象与几何变换,解决此类问题,注意将过程分成几个阶段,依次分析各个阶段得变化情况,进而综合可得整体得变化情况.5.在平面直角坐标系中,以点(2,3)为圆心,2为半径的圆必定()A.与x轴相离,与y轴相切B.与x轴,y轴都相离C.与x轴相切,与y轴相离D.与x轴,y轴都相切【考点】直线与圆的位置关系;坐标与图形性质.【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比,大于半径的相离,等于半径的相切.【解答】解:∵是以点(2,3)为圆心,2为半径的圆,如图所示:∴这个圆与y轴相切,与x轴相离.故选A.【点评】直线与圆相切,直线到圆的距离等于半径;与圆相离,直线到圆的距离大于半径.6.如图,⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°,切线CD与AB的延长线交于点D,若⊙O的半径为2,则CD的长为()A.2B.4C.2D.4【考点】切线的性质.【专题】压轴题.【分析】连接OC,BC,AB是直径,CD是切线,先求得∠OCD=90°再求∠COB=2∠A=60°,利用三角函数即可求得CD的值.【解答】解:连接OC,BC,AB是直径,则∠ACB=90°,∵CD是切线,∴∠OCD=90°,∵∠A=30°,∴∠COB=2∠A=60°,CD=OC•tan∠COD=2.故选A.【点评】本题利用了切线的性质,直径对的圆周角是直角求解.7.如图,△PQR是⊙O的内接正三角形,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,BC∥QR,则∠DOR的度数是()A.60B.65C.72D.75【考点】三角形的外接圆与外心;等边三角形的性质;正方形的性质.【分析】根据等边三角形和正方形的性质,求得中心角∠POR和∠POD,二者的差就是所求.【解答】解:连结OD,如图,∵△PQR是⊙O的内接正三角形,∴PQ=PR=QR,∴∠POR=×360°=120°,∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形,∴∠AOD=90°,∴∠DOP=×90°=45°,∴∠AOQ=∠POR﹣∠DOP=75°.故选D.【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了垂径定理.8.如图,⊙A,⊙B,⊙C,⊙D,⊙E互相外离,它们的半径都是1,顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE,则图中五个扇形(阴影部分)的面积是()A.πB.1.5πC.2πD.2.5π【考点】扇形面积的计算;多边形内角与外角.【专题】压轴题.【分析】圆心角之和等于五边形的内角和,由于半径相同,那么根据扇形的面积2公式计算即可.【解答】解:图中五个扇形(阴影部分)的面积是=1.5π故选B.【点评】解决本题的关键是把阴影部分当成一个扇形的面积来求,圆心角为五边形的内角和.二、选择题9.如图,直角坐标系中一条圆弧经过网格点A,B,C,其中B点坐标为(4,4),则该圆弧所在圆的圆心坐标为(2,0).【考点】确定圆的条件;坐标与图形性质.【专题】网格型.【分析】根据垂径定理的推论:弦的垂直平分线必过圆心,可以作弦AB和BC的垂直平分线,交点即为圆心.【解答】解:根据垂径定理的推论:弦的垂直平分线必过圆心,可以作弦AB和BC的垂直平分线,交点即为圆心.如图所示,则圆心是(2,0).故答案为:(2,0)【点评】能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置.10.如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2cm,⊙A与BC相切于点D,则⊙A的半径长为cm.【考点】切线的性质.【专题】压轴题.【分析】连接AD,则有AD是△ABC的斜边上的高,可判定△ABC是等腰直角三角形,所以BC=AB=2,利用点D是斜边的中点,可求AD=BC=cm.【解答】解:连接AD;∵∠A=90°,AB=AC=2cm,∴△ABC是等腰直角三角形,∴BC=AB=2;∵点D是斜边的中点,∴AD=BC=cm.【点评】本题利用了切线的性质,等腰直角三角形的判定和性质求解.11.善于归纳和总结的小明发现,“数形结合”是初中数学的基本思想方法,被广泛地应用在数学学习和解决问题中.用数量关系描述图形性质和用图形性质描述数量关系,往往会有新的发现.小明在研究垂直于直径的弦的性质过程中(如图,直径AB⊥弦CD于点E,设AE=x,BE=y,用含x,y的式子表示图中的弦CD的长度),通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系,发现了一个关于正数x,y的不等式,你也能发现这个不等式吗?写出你发现的不等式.【考点】垂径定理的应用.【专题】数形结合.【分析】此题中隐含的不等关系:直径是圆中最长的弦,所以AB≥CD.首先可以表示出AB=x+y,再根据相交弦定理的推论和垂径定理,得CD=2CE=2.【解答】解:∵直径AB⊥弦CD于点E,∴CE=DE,根据相交弦定理的推论,得CE2=AE•BE,则CE=,∴CD=2CE=2.又∵AB=x+y,且AB≥CD,∴x+y≥2.【点评】本题考查:直径是圆中最长的弦;相交弦定理的推论以及垂径定理的综合应用.12.如图,∠AOB=30°,OM=6,那么以M为圆心,4为半径的圆与直OA的位置关系是相交.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】利用直线l和⊙O相切⇔d=r,进而判断得出即可.【解答】解:过点M作MD⊥AO于点D,∵∠AOB=30°,OM=6,∴MD=3,∴MD<r∴以点m为圆心,半径为34的圆与OA的位置关系是:相交.故答案为:相交.【点评】此题主要考查了直线与圆的位置,正确掌握直线与圆相切时d与r的关系是解题关键.13.如图,△ABC内接于⊙O,∠B=∠OAC,OA=8cm,则AC=8cm.【考点】圆周角定理.【专题】压轴题.【分析】结合等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形的内角和定理求得三角形AOC是等腰直角三角形,再根据勾
本文标题:2016北京市西城区九年级上《第24章圆》单元测试含答案解析
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