北京市东城区2014届九年级上期末考试数学试题及答案

东城区2013—2014学年第一学期期末统一测试初三数学2014.1学校班级姓名考号考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分.考试时间120分钟.2．在试卷上准确填写学校名称、班级、姓名和考号.3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效.4．在答题卡上选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中为中心对称图形的是2．用配方法解方程x2-2x-1=0时，配方后得到的方程为A．2(1)0xB．2(1)0xC．2(1)2xD．2(1)2x3．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列是必然事件的是A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球B．摸出的三个球中至少有一个球是白球C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球D．摸出的三个球中至少有两个球是白球4．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于A．116°B．64°C．58°D．32°5．如图，电线杆上的路灯距离地面8米，身高1.6米的小明(AB)站在距离电线杆的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为A．4米B．5米C．6米D．8米6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是A．a＞0B．当-1＜x＜3时，y＞0C．c＜0D．当x≥1时，y随x的增大而增大7．如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是A．2π3－3B．2π3－32C．π－32D．π－38．如图，正方形ABCD中，AB＝8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动．设运动时间为t(s)，△OEF的面积为S(cm2)，则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为ABCD二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．若关于x的一元二次方程2210kxx有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．10．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，-1）的抛物线]的解析式__________．11．如图，在Rt△OAB中，∠B=90°∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB=°.12．射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，3cm为半径的圆与△ABC的边相切，请写出t可取的所有值．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解方程：21090xx.14．如图，△ABC和△ABC是两个完全重合的直角三角板，30BB，斜边长为10cm．三角形板ABC绕直角顶点C顺时针旋转，当点A落在AB边上时，求CA旋转所构成的扇形的弧长AA．ABCDEOF15．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连结AE，BD，且AE，BD交于点F，S△DEF∶S△ABF=4∶25，求DE∶EC的值．16．二次函数2yaxbxc的图象与x轴交于点A（-1,0），与y轴交于点C（0，-5），且经过点D（3，-8）.（1）求此二次函数的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在原点处，并写出平移后抛物线的解析式．17．画图：（1）如右图，已知△ABC和点O．将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△111ABC，在网格中画出△111ABC；（2）如图，AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度．．．的直尺（只能画线）按要求画图．（i）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；（ii）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．图1图218．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，求EC的长．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别是红桃、方块、黑桃、梅花，其中红桃、方块为红色，黑桃、梅花为黑色．小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，摸出一张，将剩余3张洗匀后再摸出一张.请用画树状图或列表的方法求摸出的两张牌均为黑色的概率.20．在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．21．在Rt△ACB中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AD∶AO=8∶5，BC=3，求BD的长．22．阅读理解：如图1，若在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E与点A，B不重合），分别连结ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，若∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，请直接写出BCAB的值．图1图2图3图①图②五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知二次函数2()2()yaxmaxm（a,m为常数，且a≠0）.（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，当△ABC是等腰直角三角形时，求a的值．24．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中90,C30BE.（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C顺时针旋转．当点D恰好落在AB边上时，填空：图1图2①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为1S，△AEC的面积为2S，则1S与2S的数量关系是，证明你的结论；（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中1S与2S的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．图325．在平面直角坐标系xOy中，二次函数2(1)4yxmxm的图象与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B（0，4），已知点E（0，1）．（1）求m的值及点A的坐标；（2）如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连结A′B、BE′．①当点E′落在该二次函数的图象上时，求AA′的长；②设AA′=n，其中0＜n＜2，试用含n的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标；③当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标．东城区2013-2014学年第一学期期末统一测试初三数学参考答案及评分标准2014.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号12345678答案CDADBBAB二、填空题（本题共16分，每小题4分）题号9101112答案k＞-1且k≠02=1yx答案不唯一70t=2或3≤t≤7或t=8三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解方程：21090xx.解：变形为2109xx.………………..1分配方，21025925xx.…………..……..2分整理，得2(5)16x.………………..3分解得，121,9xx.………………..5分14．解：由题意可求，∠ACA′=60°，CA=5．………………..2分所以60π55π1803cmAA．………………..5分15．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴△DEF∽△BAF．………………..1分∴24=25DEFABFSDESAB△△．………………..2分∴2=5DEAB．………………..3分又∵ABCD,………………..4分∴DE∶EC=2∶3．………………..5分16．解：（1）由题意，有0,5,938.abccabc解得.5,4,1cba∴此二次函数的解析式为542xxy.………………..2分∴9)2(2xy，顶点坐标为(2，-9).………………..4分（2）先向左平移2个单位，再向上平移9个单位，得到的抛物线的解析式为y=x2．………………..5分17．（1）………………..3分（2）（i）如图1，点P就是所求作的点；（ii）如图2，CD为AB边上的高.图1图2………………..5分18．解：∵OD⊥AB，∴AC=BC12AB．………………..1分设AO=x．在Rt△ACO中，222AOACOC．∴2224(2)xx．解得5x．………………..2分∴AE=10，OC=3．………………..3分连结BE．∵AE是直径，∴∠ABE=90°．由OC是△ABE的中位线可求26BEOC．………………..4分在Rt△CBE中，222CEBCBE．∴221636213CEBCBE．………………..5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19.解：（1）树状图：列表法：………………..3分（2）P＝212＝16．………………..5分ABCDAABACADBABBCBDCACCBCDDADDBDC20．解：设金色纸边的宽为x分米．………………..1分根据题意，得（2x＋6）(2x＋8)＝80.………………..3分解得：x1＝1，x2＝－8（不合题意，舍去）．………………..4分答：金色纸边的宽为1分米．………………..5分21．解：（1）直线BD与⊙O的位置关系是相切．证明：连结OD，DE.∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°．∵∠A=∠CBD，∴∠A+∠CDB=90°．∵OD=OA，∴∠A=∠ADO．∴∠ADO+∠CDB=90°．∴∠ODB=180°-90°=90°．∴OD⊥BD．∵OD为半径，∴BD是⊙O切线．………………..2分（2）∵AD:AO=8:5，∴ADAE=810．∴由勾股定理得AD:DE:AE=8:6:10．∵∠C=90°，∠CBD=∠A.∴△BCD∽△ADE．∴DC:BC:BD=DE:AD:AE=6:8:10．∵BC=3，∴BD=154．………………..5分22．解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．ABCDBBBCCCDDDAAA理由：∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°．∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°．∴∠ADE=∠BEC．∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC．∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．………………..2分（2）作图如下：图1图2………………..4分（3）32BCAB．…………..5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23.解：（1）证明：2()2()yaxmaxm22(22)2.axamaxamam……………………………..1分22=(22)4(2)aamaaamam当0时，24.a…………………………..2分∵0,a∴240.