大学课件-概率论与数理统计-二维连续型随机向量

定义对于二维随机变量(X,Y)，若存在函数f(x,y)≥0(－∞x+∞,－∞y+∞)，使得(X,Y)的分布函数则称(X,Y)是二维连续型随机变量；f(x,y)称为(X,Y)的密度函数。(){}()∫∫∞−∞−==xydudvvufyYxXPyxF,,,二维连续型随机向量任意一个二维密度函数f(x,y)具有以下性质：（１）f(x,y)≥0（２）（３）若f(x,y)在点(x,y)处连续，则()()∫∫+∞∞−+∞∞−=+∞∞+=1,,Fdudvvuf()),(,2yxfyxyxF=∂∂∂（４）若Ｄ是xoy平面内的任一区域，则(){}()∫∫=∈DdxdyyxfDYXP,,例1（二元正态分布）函数()221121,ρσπσϕ−=yx其中μ1,μ2,σ1,σ2,为常数；且σ10,σ20,∣∣1，称为二元正态分布密度函数。()()()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−+−−−−−−22222121212122121expσμσσμμρσμρyyxxρρρρ二维正态分布剖面图正态分布的边缘分布仍为正态分布+∞−∞=−−xexfxX,21)(2122)1(1σμπσ+∞−∞=−−yeyfyY,21)(2222)2(2σμπσ若二维随机变量(X,Y)以φ(x,y)为密度函数，则称(X,Y)服从二元正态分布。我们可以证明),(,),(222211σμσμNYNX～～例2设二维连续型随机变量(ξ,η)的分布函数为F(x,y)=(A+Barctgx)(C+arctgy)（１）求常数Ａ，Ｂ，Ｃ；（２）求(ξ,η)的密度函数；（３）D={(x,y):x－y0,x≤1}，求P{(ξ,η)∈D}。解（１）由二维分布函数性质，得()()02,=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∞−arctgyCBAyFπ()()02,=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=−∞πCBarctgxAxF()122,=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+∞∞+ππCBAF21212πππ===CBA由以上三式可得到（２）(ξ,η)的密度函数()()()()2222111,,yxyxyxFyx++=∂∂∂=πϕ()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=∴arctgyarctgxyxFππ121121,（３）(){}()∫∫=∈DdxdyyxDP,,ϕηξ()()∫∫∞−∞−⎭⎬⎫⎩⎨⎧++=1222111dxdyyxxπ∫∞−⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⋅=1222111dxarctgxxππ()3292211122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=∞−arctgxarctgxππ二维均匀分布为密度函数的二维随机向量（X，Y）服从二维均匀分布。其中c为平面区域D的面积的倒数。()⎩⎨⎧∈=其他以称0),(,Dyxcyxf例设(X,Y)~G上的均匀分布,{}10,0),(≤≤≤≤=xxyyxG(1)f(x,y);(2)P(YX2);(3)(X,Y)在平面上的落点到y轴距离小于0.3的概率.求解(1)y=x10xy1⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,0,2),(xxyyxfG(2)y=x2∫∫=1022xxdydx.3/1=)(2XYP(3))3.03.0()3.0|(|−=XPXP09.0)3.0(2122=⋅⋅=y=x10xy10.3