华南理工大学高等数学 96届 统考卷下

1614160402086共4页第1页1996等数学下册统考试卷及解答一、据题目要求解答下列各题（共13）1、设),(yxf在1,1:22xyxyD上连续，试将Ddxdyyxf),(化为二次积分。解：221,1,1yxyxx，原式221111,xxdxfxydy2、在面yoz中求向量p，使它垂直于向量4,3,12a且与向量a有相同的模。解：由已知可设0,,pyz，则22222340123413yzyz解得5239,55yz，故52390,,55p二、计算下列各题（本大题分2小题，共13分）1．将0,0,0,0)(xaHaxHxaxf展成以2为周期的傅立叶级数。解：fx为奇函数00,1,2,nan，0021cos22sinsin0,1,2,anHnabfxnxdxHnxdxnn1121cossin0,nfxHnanxxan而00,2HSSa2．计算zdxdydzI，其中是由柱面122yx及平面1,0zz围成的区域。解：原式221012xydxdyzdz3．设)ln(yxz，求dz.1614160402086共4页第2页解：1dxdydzdxyxyxy或先求两个偏导数再写出来三、（本大题7分）求在极坐标下，曲线cos1:rL一周)(的长度。解：222204cos4cos4cos8222Lsdsrrdddd四、（本大题6分）研究级数1)(cosnnx的敛散性。解：当xn时0,1,2,,cos1n，所以原级数收敛当xn时0,1,2,,cos1n，一般项不趋向0，所以原级数发散五、（本大题7分）试确定可导函数)(xy，使方程20()2()xtytdtxyx成立。解：当0,02xy，方程两边求导2(),2xyxxyxyxyx2222xxdxxdxyexedxcce，（也可用分离变量法求，试试！）由初值条件224,24xcye六、（本大题6分）设22,,arcsinyxxweuwuyzx，求函数对变量的全微分dz.。解：22arcsinxxzyexy2222222222211xxxxyxyxyzyeyexxyxxyxy22xzxyeyxyy，从而2222xxyxydzyedxedyxyyxy七、（本大题8分）计算dyedxIxxyx10412222dyedxxyx2140222解：222:01,14;12,04Dxxyxxyx1614160402086共4页第3页在极坐标下即为:0,122Dr222242014xyrDIedxdyderdree八、（本大题9分）求微分方程3xyy满足)10(,1)0(yy的特解。解：对应的特征方程21,210,1rr，令*32yAxBxCxD，则*42yAxB代入原方程得32362AxBAxBxCxDx比较系数得：1,0,6,0ABCD，所以*36yxx3126xxycecexx由初值条件12121214,361cccccc从而3436xxyeexx九、（本大题10分）计算dxdyzdzdxydydzxI222，是球面zzyx2222满足22yxz那部分的上侧。解：求出交线知道，补曲面1:1z取下侧可封闭之111222221Ixdydzydzdxzdxdyxyzdvdxdy（再右对称性）2222111001117226rxyzdvdxdydrdrzdz（或直接转化为重积分计算也可以，2222:11,1zxyxy）十、（本大题10分）在曲面22yxz上找一点，使它到点)33,2,1(的距离最短，并求最短距离。解：设,,xyz为所求的点，则在条件22yxz下2221233mxyz最小令222221233Lxyzxyz1614160402086共4页第4页则22222221022022,2,2323300xyzxLxxyyLyyxzxyLzLxyz，得点2,22,23十一、（本大题8分）判定级数1)12(!5nnnnn的敛散性解：1151!51215(21)limlimlim15!21212(21)nnnnnnnnnnnnunnnunnen所以正项级数1)12(!5nnnnn的收敛