大学课件-概率论与数理统计-边缘分布

定义1：对二维随机变量(X,Y)，若已知其联合分布，则称随机变量X或Y的概率分布它的边缘分布。定义2：二维随机变量(X,Y)的分量X、Y的分布函数FX(x)、FY(x)分别称为(X,Y)关于X、Y的边缘分布函数。边缘分布二维随机变量的边缘分布函数()xXPxFX=)(()+∞=YxXP,),(+∞=xF()yYPyFY=)(()yYXP+∞=,),(yF+∞=xyxxyy由联合分布函数边缘分布函数,逆不真.二维离散型随机变量(X,Y)的分量X、Y都是一维离散型随机变量，X、Y的分布律P{X=xi}、P{Y=yj}(i,j=1,2,…)分别称为(X,Y)关于X、Y的边缘分布律。离散型的边缘分布律设(X,Y)的联合分布律pij=P{X=xi,Y=yj}(i,j=1,2,…)为已知，则(X,Y)关于X的边缘分布律有{}{}{}{}{}{}⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=∩==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡===+∞===∑∑∞=∞=11,,jjijiiiiyYxXPyYxXPYxXPxXP{}{}{}{}∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=====⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡===⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=∩==1111,,jijjjijjijjipyYxXPyYxXPyYxXP简记为{}L,2,1,1====∑∞=•ipxXPpjijii同理，(X,Y)关于Y的分布律为{}L,2,1,1====∑∞=•jpyYPpiijjj例１一袋中有五件产品，其中两件次品，三件正品，从袋中任意依次取出两件，分别采用有放回与不放回两种方式进行抽样检查，规定随机变量⎩⎨⎧第１次取出正品１第１次取出次品＝,,0ξ⎩⎨⎧第２次取出正品１第２次取出次品＝,,0η则(ξ,η)的联合分布律如下（并可求得边缘分布律）：表１有放回抽样的分布律η11010ξijp254256256259∑=•jip5253∑=•ijp5253η11010ξijp∑=•jip5253∑=•ijp5253表２不放回抽样的分布101103103103∫∫∞−∞+∞−=xXdvduvufxF),()(边缘分布函数与边缘密度函数∫∫∞−∞+∞−=yYdudvvufyF),()(∫∞+∞−=dvvxfxfX),()(∫∞+∞−=duyufyfY),()(与离散随机变量相同,已知联合分布可以求得边缘分布；反之则不能唯一确定.例２设(ξ,η)在椭圆所围成的区域上服从均匀分布。即其联合密度为12222=+byax()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤+=1,01,1,22222222byaxbyaxabyxπϕ求它的边缘密度。解()()0,==∴∫+∞∞−dyyxxϕϕξ()()∫+∞∞−=dyyxx,ϕϕξ(1)当︱x︱a时，0),(=yxϕ(2)当︱x︱≤a时，()()()∫∫∫∞+−−−−−−∞−++=222222221111,,,axbaxbaxbaxbdyyxdyyxdyyxϕϕϕ∫∫∫∞+−−−−−−∞−++=222222221111010axbaxbaxbaxbdydyabdyπ2212axa−=π()⎪⎩⎪⎨⎧≤−=axaxaaxx,12,022πϕξ同理，可得关于η的边缘密度()⎪⎩⎪⎨⎧≤−=bybybbyy,12,022πϕη例３设(X,Y)服从二维正态分布，其联合分布密度为求边缘分布密度。()()()()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−+−−−−−−−=2222121222212121exp121,σσσρσρσπσϕbybyaxaxryx解由前讲知：()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−==∫+∞∞−21212exp21,σπσϕϕξaxdyyxx()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−==∫+∞∞−22222exp21,σπσϕϕηbydxyxy例设随机变量(X,Y)的联合密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他,0,10,0,),(yyxkxyyxf其中k为常数.求(1)常数k;(2)P(X+Y≥1),P(X0.5);(3)联合分布函数F(x,y);(4)边缘密度函数与边缘分布函数y=x10xy{}10,0),(≤≤≤≤=yyxyxD解令D(1)1),(=∫∫∞+∞−∞+∞−dxdyyxf1),(=∫∫Ddxdyyxf∫∫∫==10210082kdyyykkxydxdyy8=kx+y=1y=x10xy(2))1(≥+YXP0.5x+y=1y=x10xy∫∫−=15.018yyxydxdy.6/5=y=x10xy0.5)5.0(XP∫∫=5.0018xxydydx.16/7=当0≤x1,0≤yx时，1(3)()∫∫∞−∞−==xydvduvufyYxXPyxF),(,),(当x0或y0时,F(x,y)=04008yuvdudvyv==∫∫当0≤x1,x≤y1时，422028),(xyxuvdvduyxFxyu−==∫∫v=u10uv),(yxF当0≤x1,y≥1时，∫∫=xuuvdvduyxF018),(v=u10uv1422xx−=当x≥1,0≤y1时，v=u10uv1当x≥1,y≥1时，1),(=yxF4y=∫∫=yvuvdudv008),(yxFF(x,y)=0,x0或y0y4,0≤x1,0≤yx，2x2y2–y4,0≤x1,x≤y1，2x2–x4,0≤x1,y≥1，y4,x≥1,0≤y1，1,x≥1,y≥1，(4)),()(+∞=xFxFX=0,x0，2x2–x4,0≤x1,1,x≥1),()(yFyFY+∞=0,y0y4,0≤y1,1,y≥1=⎩⎨⎧≤−=其他,010,44)(3xxxxfX⎩⎨⎧≤=其他,010,4)(3yyyfY也可以直接由联合密度求边缘密度,再积分求边缘分布函数.例如∫∞+∞−=dvvxfxfX),()(⎩⎨⎧≤=∫其他,010,81xxvdvxv=u10uv1⎩⎨⎧≤−=其他,010,443xxx