大学课件：概率论与数理统计之重复独立事件与二项概率公式

如n重独立试验还满足：每次试验只有两个结果。即只有两个可能事件Ａ与，且。则这n重独立试验又称为n重贝努利(Bernoulli)试验，或称为贝努利概型。重复独立试验二项概率公式做n个完全重复条件的试验，且满足两个条件：(1)每次试验条件相同。因此各次试验中同一个事件出现概率相等；(2)各次试验结果相互独立；满足这两个条件的n次重复试验，称为n重独立试验。n重独立试验A()qpAPpAP=−==1,)(试验2——疾病发生某疾病的发生率为0.001。当卫生部门要对一个拥有5000名员工的单位估计此种疾病的发病情况时，需用p＝0.001的n重伯努利试验模型，其中n=5000。试验1——电脑故障某电脑公司售出200台电脑，公司在考虑售后服务维修人员的安排时需处理P(A)=p，n=200的伯努利试验问题。其中p是电脑故障率。试验3——产品抽样在产品抽验中，如果采用不放回方式抽取n次（每次取一件产品），那么这n次试验就不是重复独立试验（此时，每次试验条件不完全重复，每次抽取正品的概率也不相等）。但是，如果采用放回抽样，即每次抽取检查后放回，这样所作的n次试验就是重复独立试验。在实际问题中，完全满足n重独立试验的两个条件是不多见的，常常是近似满足条件，此时，可用n重独立试验来近似处理。例如，仍然以抽样问题来讲，当产品数量很大时，相对来说，抽取的产品件数n很小，即使所作的是无放回抽取，我们可以近似地当作有放回抽取，近似地把它看成是n重独立试验（此时，每次试验出现正品的可能性相等）。例1(打靶问题)某老练的射手打五发子弹，中靶概率为0.8，问:（1）他打中两发的概率p1是多少?（2）打中的概率p2是多少?解设Ai={第i次击中靶｝，由于射手老练，可理解为他每次打中否，彼此不相互影响，为相互独立重复试验。99968.0)8.01(1)(1)8.01(8.0554321232251=−−=−=−=AAAAAPpCp定理（二项概率公式）设一次试验中，事件Ａ出现的概率为P(A)=p(0p1)，则在n重伯努利试验中，事件Ａ出现的次数ξ的分布律为()nkpqqpCkPkPknkknn,,2,1,01}{L=−====−∆其中ξ也记作b(k；n，p)当n次试验中事件Ａ在指定的k次试验中出现（下式是前k次出现），在其余n－k次试验中不出现的概率为证明()nkkkAAAAAAPLL2121++()()()()()()()()knkknknkkknkkkqpppAPAPAPAPAPAPAAAAAAP−−++++=−==121212121LLLL{}niiAi,,2,1L==次试验中出现Ａ第记再由试验结果的独立性得由于n重贝努利试验中Ａ出现k次的方式：就是１至n的n个自然数中取出k个数的一种组合，即共有个事件。而这些事件是两两互斥的，故根据概率的可加性可得knC()nkqpCkPknkknn，，，，L210==−注：1)由于上式刚好是二项式(p+q)n的展开式中第k+1项的系数，故我们把它称为二项概率公式。()()100=+==∑∑=−=nknknkknnknqpqpCkP2)),;(pnkbqpCknkkn也被记作−显然：例2某车间有１２台车床，每台车床由于种种原因，时常需要停车，设各台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任意时刻处于停车状态的概率为1/3，求任意时刻车间里有２台车床处于停车状态的概率。解：把任一时刻对一台车床的观察看成是一次试验，试验结果只有停车或开车两种可能，且各车床的停车或开车是相互独立的，故我们可用二项概率公式计算，得()1272.0311312212221212≈⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−CP解把每个病人服此药当作一次试验，试验结果只有“治愈”或“未治愈”且是相互独立的，故可用贝努利概型计算，所求概率为：例3设某种药物对某种疾病的治愈率为0.8，现有10个患这种病的病人同时服用此药，求其中至少有６人被治愈的概率。()()()97.08.018.0106101010610≈−=∑∑=−=kkkkkCkP例4某车间有１０台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为１０千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动１２分钟，且各机床开动与否是相互独立的，若供电部门只提供５０千瓦的电力给这１０台机床，问这１０台机床能够正常工作的概率为多大？解：每台机床在同一时刻是否开动看成一次试验，10台机床在同一时刻开动的台数，可以看成10重贝努利概型，这里n＝10，p＝12/60＝0.2，q＝0.8。10台机床要正常工作，必须同一时刻开动的机床数不得超过50/10=5台，即k≤5。故所求概率为：()()()9936.00264.00881.02013.03020.02684.01074.08.02.0550101010=+++++==≤∑=−kkkkCkP