高等数学 下期中考试评分标准

12011-2012学年第二学期《高等数学》期中考试试卷评分标准一.解答下列各题(每小题5分,共20分)1.求极限22()lim(exyxyxy）.解：lime0kttt２＇22()2()lim(elim(e20xyxyxyxxyyxyxyxeye））３＇２．求由方程组222222320zxyxyz所确定的yx及zx的导数ddyx及ddzx.解：23220222460(16)260xdxydyzxdxydydzxdxydyxdxydyzdzxzdxyyzdy３＇66,2,261313dyxxzdzxxzxxdxyyzdxzz２＇３．设,uf可微，证明：gradgradfufuu证明：,,,,xyzxyzfufufufufuufuufuugrad３＇,,xyzfuuuufuugrad２＇４．求曲线23xtytzt的切线，使它与平面21zyz平行.解：设切点为230000,,Mttt，则切向量为2001,2,3Ttt.１＇2200001,2,31,2,11430Tntttt_____________________…姓名学号学院专业座位号(密封线内不答题)……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………2解得01t或013t，相应切点为1,1,1或111,,3927，２＇因此，所求切线为1111:123xyzL，21113927:321xyzL２＇二.解答下列各题(每小题10分,共30分)５．设22,,0,0,0,,0,0xyxyxyxyfxyxy，试研究该函数在0,0点的可微性.解：0,00,00,0lim0,0,000xyxfxfffx４＇又2222002200(,)()limlim0(()())xxyyfxyxyxyxyxyxy５＇函数,fxy在点0,0处是不可微的１＇６．设函数,fxy具有二阶连续偏导数，满足等式2220xyyxyxyyxxfffffff，且0yf，(,)yyxz是由方程(,)zfxy确定的函数.求22yx.解：xyfyxf４＇220yx６＇7．在经过点12,1,3的所有平面中求一个，使这个平面在第一卦限内与三个坐标平面所围成的四面体的体积最小.解：3设该平面为1xyzabc，１＇四面体的体积为16Vabc.１＇问题化为求16Vabc在约束条件21110,0,0,03abcabc下的最小值点.构造拉格朗日函数1211,,,163fabcabcabc３＇由22222110,0,0,1066633abcbcacabffffabcabc３＇得唯一一组解6,3,1abc，该实际问题的最小值一定存在，从而该点一定是要求的最小值点了.因此所要求的平面为163xyz２＇三.解答下列各题(每小题8分，共32分)８．计算11301ydyxdx.解：2111333000111xyDdyxdxxddxxdy４＇1123330011113xxdxxdx３＇22219１＇9．计算22yDxedxdy，其中区域D是由直线0,1,xyyx所围成的区域.解：22yDxedxdy21200yydyxedx4’213013yyedy2’1163e2’10．计算2()xydV.其中是曲线22,0yzx绕z轴旋转一周而成的曲面与两平面42,8zz所围成的区域.解：求出旋转面方程为222xyz１＇2()xydV＝22xydV１＇＝8222Dzdzxydxdy３＇82283220022336zdzdrdrzdz３＇11．计算三重积分2ydV，其中222,,2xyzxyzz.解：2ydV22cos2342000sinsindddr５＇415３＇四.解答下列各题(每小题9分,共18分)12.求由两圆周22224xyaa和222(0)xyaaa所围的均匀薄片的质心.解：0x２＇4sin2202sin11sin3aaDDyydxdydrdrSa５＇＝73a２＇13.计算由曲面22xyaz和222(0)zaxya所围立体的表面积.解：22222224412xyaxySdxdyaa６＇251(2)6aa３＇