大学课件-概率论与数理统计-二维随机向量及其分布

二维随机变量及其分布定义设Ω为随机试验的样本空间，()2)(),(RYX∈∃⎯⎯⎯⎯→⎯Ω∈∀ωωω一定法则则称二维向量(X,Y)为二维随机变量或二维随机向量讨论：二维随机变量作为一个整体的概率特性其中每一个随机变量的概率特性与整体的概率特性之间的关系联合分布函数()(){}()(){}{}yYxXyYxXyYxX==Δ,{},ωωωωωωωI定义２设(X,Y)是二维随机变量，对任意实数x、y，函数F(x,y)=P{Xx，Yy}称为(X,Y)的（联合）分布函数。分布函数的几何意义如果用平面上的点(x,y)表示二维随机变量(X,Y)的一组可能的取值，则F(x,y)表示(X,Y)的取值落入下图所示的角形区域的概率.(x,y)xy(,)−∞+∞P{x1≤Xx2，y1≤Yy2}=P{Xx2，Yy2}－P{Xx2，Yy1}－P{Xx1，Yy2}＋P{Xx1，Yy1}=F(x2，y2)－F(x2，y1)－F(x1，y2)＋F(x1，y1)(x1,y2)(x2,y2)(x2,y1)yx(x1,y1)定理设F(x,y)为随机向量(X,Y)的分布函数，则(１)对x或y都是单调增的，即当x1x2时，F(x1,y)≤F(x2,y)当y1y2时，F(x,y1)≤F(x,y2)(２)对x或y都是左连续的，即F(x－0,y)=F(x,y)F(x,y－0)=F(x,y)（３）F(－∞,y)＝F(x,－∞)＝F(－∞,－∞)＝0F(+∞,+∞)＝1（４）对任意两点(x1，y1)、(x2，y2)，若x1≤x2，y1≤y2，则F(x2，y2)－F(x2，y1)－F(x1，y2)＋F(x1，y1)≥0联合分布函数的性质(,)0F−∞−∞=),(+∞+∞xy(x,y)xy),(−∞−∞1),(0≤≤yxF(,)1F+∞+∞=①(,)0Fx−∞=xy∞−xy(,)0Fy−∞=−∞例1⎩⎨⎧≥++=1,11,0),(yxyxyxF设讨论F(x,y)能否成为二维随机变量的分布函数？解xyx+y=1•(0,0)•(2,0)•(2,2)•(0,2))0,0()0,2()2,0()2,2(FFFF+−−10=−故F(x,y)不能作为二维随机变量的分布函数1110=−−+注意对于二维随机变量()),(1,caFcYaXP−≠≥≥xyac(a,c)()),(,+∞≤+∞≤=≥≥YcXaPcYaXP),(),(),(1caFaFcF++∞−+∞−=(a,+∞)(+∞,+∞)(+∞,c)