大学课件-概率论与数理统计-数学期望

‰随机变量的平均取值——数学期望‰随机变量取值平均偏离平均值的情况——方差‰描述两个随机变量之间的某种关系的数——协方差与相关系数本章内容随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写设X为离散随机变量,其分布为L,2,1,)(===kpxXPkk若无穷级数∑∞+=1kkkpx绝对收敛,则称其和为X的数学期望记作E(X),即∑∞+==1)(kkkpxXE数学期望的定义定义设连续随机变量X的密度函数为)(xf若广义积分∫∞+∞−dxxxf)(绝对收敛,则称此积分为X的数学期望记作E(X),即∫∞+∞−=dxxxfXE)()(数学期望的本质——加权平均它是一个数不再是随机变量定义解∑∑∑=−−−−=−=−===nkknkknnkknkknnkknkknqpCnpqpkCqpkCXE111110)(11−−=knknnCkC)!1()1()1(!)1()1(11−+−−=+−−=−−kknnnnCkknnnkkCknknLLnpqpnpqpCnpnniiniin=+==−−=−−−∑11011)(例X~B(n,p),求E(X).特例若Y~B(1,p),则E(Y)例３若X服从泊松分布P(λ)，试求E(X)。解λλ−∞=∑⋅=ekkXEkk0!)(∑∞=−=0!iiieλλλ()∑∞=−−−=11!1kkkeλλλλλλλ==−ee例设X服从均匀分布，其分布密度为()⎪⎩⎪⎨⎧−=其它,0,1bxaabxϕ解⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−⋅=∫2211)(22ababdxabxXEba2ba+=求Eξ。若X服从N(a，σ2)，求E(X)。()∫+∞∞−=dxxxfXE)(()∫∞+∞−−−=dxexax2222σσπ，则令σaxu−=例8解：aadueadueuXEuu=⋅+=+=∫∫∞+∞−−∞+∞−−10212)(2222ππσ例设ξ服从参数为a＞０的指数分布，其分布密度为()⎩⎨⎧≤=−0,00,xxaexfax。，求ξE()∫∫+∞−+∞∞−⋅==0)(dxaexdxxxfXEax()aeadxexexdeaxaxaxax11|0000=−=+−=−=∞+−+∞−∞+−+∞−∫∫解：‰设离散随机变量X的概率分布为L,2,1,)(===ipxXPii若无穷级数∑∞=1)(iiipxg绝对收敛，则∑∞==1)()(iiipxgYE‰设连续随机变量X的密度函数为f(x)∫∞+∞−dxxfxg)()(绝对收敛,则∫∞+∞−=dxxfxgYE)()()(若广义积分随机变量函数Y=g(X)的数学期望‰设离散随机变量(X,Y)的概率分布为L,2,1,,),(====jipyYxXPijjiZ=g(X,Y),∑∞=1,),(jiijjipyxg绝对收敛,则∑∞==1,),()(jiijjipyxgZE若级数‰设连续随机变量(X,Y)的联合密度为f(x,y)，Z=g(X,Y),∫∫∞+∞−∞+∞−dxdyyxfyxg),(),(绝对收敛,则∫∫∞+∞−∞+∞−=dxdyyxfyxgZE),(),()(若广义积分几个重要的随机变量函数的数学期望)(kXE——X的k阶原点矩)|(|kXE——X的k阶绝对原点矩)))(((kXEXE−——X的k阶中心矩)()))(((2XDXEXE=−——X的方差)(lkYXE——X,Y的k+l阶混合原点矩()lkYEYXEXE))(())((−−——X,Y的k+l阶混合中心矩)(XYE——X,Y的二阶原点矩()))())(((YEYXEXE−−——X,Y的二阶混合中心矩X,Y的协方差XYYDXDYEYXEXEρ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−)()())())(((——X,Y的相关系数常见随机变量的数学期望分布期望概率分布参数为p的0-1分布pXPpXP−====1)0()1(pB(n,p)nkppCkXPknkkn,,2,1,0)1()(L=−==−npP(λ)L,2,1,0!)(===−kkekXPkλλλ分布期望概率密度区间(a,b)上的均匀分布⎪⎩⎪⎨⎧−=其它,0,,1)(bxaabxf2ba+E(λ)⎩⎨⎧=−其它,0,0,)(xexfxλλλ1N(μ,σ2)222)(21)(σμσπ−−=xexfμ注意不是所有的随机变量都有数学期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为+∞∞−+=xxxf,)1(1)(2π∫∫∞+∞−∞+∞−+=dxxxdxxfx)1(||)(||2π但发散它的数学期望不存在!‰E(C)=C‰E(aX)=aE(X)‰E(X+Y)=E(X)+E(Y)CXEaCXaEniiiniii+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∑∑==11)(‰当X,Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y).‰若存在数a使P(X≥a)=1,则E(X)≥a；若存在数b使P(X≤b)=1,则E(X)≤b.数学期望的性质常数例在n次重复独立试验中，每次成功的概率为p。设Xi表示第i次试验成功的次数，则Xi有分布律p1－p概率10Xi()pppXEi=×+−×=110)(并且有nXXXY+++=L21设()npEXEXEXXXXEYEnn=+++=+++=LL2121)(则此外，我们可以推导出Y~B(n,p)