奥林匹克竞赛试题-静力学

-1-单元二：静力学1.[弹簧]：如图所示，原长LO为100公分的轻质弹簧放置在一光滑的直槽内，弹簧的一端固定在槽的O端，另一端连接一小球，这一装置可以从水平位置开始绕O点缓缓地转到铅直位置，设弹簧的形变总是在其弹性限度内，试在下述(a)、(b)两种情况下，分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地绕O点转到铅直位置时小球离开原水平面的高度ho。(a)在转动过程中，发现小球距原水平面的高度变化出现40公分的极大。(b)在转动过程中，发现小球离原水平面的高度不断增大。【答案】(a)37.5cm(b)100cm＞ho＞50cm2.[虎克定律]：一很轻的水平金属丝在相距为的两个支柱上，刚好张紧，但此时张力可以忽略不计。金属丝的弹力常数为K，一个质量m的质点系于金属丝中点，并令其下。计算让质点开始回升前所下落之高度h。【答案】312)Kmg(=h3.[力平衡]：如图所示，AB,BC,CD和DE为质量可忽略的等长细线，长度均为5公尺，A、E端悬挂在水平天花板上，AE=14公尺，B、D是质量均为mo=7公斤的相同小球，质量为M的重物挂于C点，平衡时C点离天花板的垂直距离为7公尺，则质量M若干？【答案】M=18kg4.[弹力与张力]：如图所示，一半径为R的刚性光滑球体静止放置，质量为M的圆环状均匀弹性绳水平套在球体上，已知绳环原长时的半径为a=R/2，套在球体上时绳环的半径变为b=a2。假设弹性绳满足虎克定律，求此弹性绳之弹力常数K。【答案】)RMg(π21+2=K25.[弹力与张力]：如图所示，静止的圆锥体铅直放置，顶角为α，有一质量为m并分布均匀的细炼条圆环水平地套在圆锥体上。忽略炼条与锥面之间的摩擦力，试求炼条中的张力T。OLohomv7mmDMRbαm5mC5mBDM5m5mA14mE-2-【答案】2αcotπ2mg=T6.[弹力与张力]：重W自然长度为a弹力常数为k的弹性圈放置在顶角为2的光滑垂直的正圆锥体上，如图所示。试求平衡时圈面离圆锥顶点的距离h。【答案】)acotk2W(2coth7.[张力]：如图所示，两垂直杆MN与PQ相距2公尺，一根长2.4公尺的绳的两端拴在这两杆上，第一次令两拴点等高，第二次使两拴点不等高，用一光滑的钓子把一重50牛顿的物体挂在绳子上，请问那一次绳子的张力较大？又绳子张力分别为若干牛顿？【答案】一样大，张力N45=T8.[张力与力]：如图所示为一平面支架，由绳索1、2、3悬挂使它位于水平平面。杆AD、BE、与CF的长度均相等，D、E、F分别位于杆BE、CF和AD的中点，在F端作用有铅直向下之力P，求绳索张力1T，2T及3T(杆重不计)。【答案】P74=T1，P72=T2，P71=T39.[张力与平衡]：均质重炼的两端分别接连两个小球A与B，且A、B重量分别为P与Q，置于半径为R的光滑半圆柱面上。炼的单位长度重为μ，炼长由图所示的已知角α确定。试求系统平衡时的位置(由垂直于AB的直线OC与水平所成的φ角表示)。【答案】sin)Q-P(sinR2cos)QP(tan－10.[张力]：三个不相同的均质小球放在光滑水平桌面上，用一根橡皮筋把三球束縳起来。三个小球的质量均为m，半径均为R。再如图所示，将一个质量为3m，半径也为R的均质小球放在原三球中间正上方，因受橡皮筋约束，下面三小球并未分离。设系统处处无摩擦，试求放置第四个小ααhMPNQ1AB3CD2BPFCO3O1O4O2AαψRB-3-球后，橡皮筋张力的增加量。【答案】mg6611.[正向抗力]：均质杆AB，长度为a，一端靠在光滑铅直墙上，另一端靠在光滑固定的侧面上，侧面为柱面，柱轴垂直Oxy面。如果要使杆子在Oxy面内的任意位置均是平衡位置，则侧面应是什么形状的柱面？【答案】椭圆柱面，椭圆方程为222a=)ay2(+x－12.[正向力]：有三个光滑的圆柱体，重量相等，且半径均为r，同置于一块曲率半径为R之光滑曲面上如图所示。试证明下面两个圆柱体不致被压而分开之条件为：r)721(R【答案】13.[正向力]：四个相同的球静止在光滑的大半球形碗内，它们的中心同在一水平面内，今以另一相同的球放在四球之上，若碗的半径大于球的半径K倍时，则四球将互相分离。求K值。(所有的接触面都是光滑的)【答案】1+132=K14.[力矩平衡]：如图所示，直径都是d质量都是m的金属球置于直径为D的筒内，已知2d＞D＞d，试证筒的质量M至少等于Dm)dD(2－，圆筒才能倒扣住两金属球而不翻倒。【答案】15.[力矩与平衡]：有6个完全相同的刚性长条形薄片AiBi(I=1,2……6)，其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的重力均不计。现将此6个薄片架在一水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起恰在碗口上，另一端小突起位于其下方薄片的正中央，由正上方俯视如图所示。若将一质量为m的质点放在薄片66BA上一点，这一点与此薄片中点的yAOXBCΘCG＋＋RrB5A6A5B3B6A2A3B2A1mA4B4B1-4-距离等于它与小突起6A的距离。求薄片66BA中点所受的(由另一小薄片的小突起1A所施的)压力。【答案】mg/4216.[力矩与平衡]：一均匀圆桌面由三条相互等距的桌腿在圆桌边缘上支撑着，桌腿重量忽略不计。某人坐在正对着一条桌腿的圆桌边上，恰好使圆桌以另两条桌腿着地点联机为轴而倾倒。圆桌倾倒后他再坐到圆桌面的最高点上，恰好又能使圆桌恢复过来。求桌面半径与桌腿长度之比值。【答案】217.[力矩与平衡]：右图为一半径为R质量为m1的均匀圆球O与一质量为m2的重物E分别用细绳AD和ACE悬挂于同一点A，并处于平衡。已知悬点A到球心O的距离为，不考虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD与铅直线的夹角θ之正弦值sinθ。【答案】)mm(Rmsin21218.[力矩与正向力]：如图所示，一质量为m的均匀光滑圆棒，静止在瓷盆中，与铅直线成60o角，棒的一端与盆底接触，另一端露在盆口之外，盆口外部分占捧全长的61求盆口处及盆底作用于棒的力的量值和方向。【答案】mg1033F1=，mg1037F2=；1133tan19.[力矩与正向力]：有一半球形的光滑碗，其上搁置一长为2的均匀细棒，如碗的半径为R，且有2R＞＞R36，求细棒平衡时与水平方向的夹角θ为多少？【答案】21)R8(R8θcos2+±=20.[正向力与平衡]：如图所示，一光滑半球形容器，直径为a，其边缘恰好与一光滑垂直墙壁相切。现有一均匀直棒AB，其A端靠在墙上，B端与容器底相接触，当棒倾斜与水平成60∘角时棒恰好静止。求棒的长度。【答案】a)1311(+EODCA60∘RΘα60∘AB-5-21.[抗力与平衡]：如图所示，一根细棒，上端A处用绞炼与天花板相连，下端B用绞炼与另一细棒相连，两棒长度相等，两棒只限于图示的垂直面内运动，且不计绞炼处的摩擦。当在C端加一适当的外力(在纸面内)可使两棒平衡在图标位置处，即两棒间夹角为90∘，且C端正处在A端的正下方。(1)不管两棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向的范围内？(2)如果AB棒的质量1公斤，BC棒的质量2公斤，求此外力的和方向。【答案】(1)在角ACB内向右上方(2)]N[5825F=；583sin22.[合力作用点]：如图所示，在正三角形ABC的三个顶点沿三边分别作用三个共平面力。2FA=牛顿，4FB=牛顿，8FC=牛顿，则这三个力的合力的作用线与y轴的交点的坐标为何？【答案】3323.[力矩与平衡]：如图所示，两完全相同的木板，长度均为，质量均为m，彼此以光滑铰链相接，并通过光滑铰链与铅直墙相连，为使两木板均呈水平状态达到平衡，试问应在何处施力？最小的作用力是多少？【答案】mg2324.[刚体平衡]：轻质横杆OB，其O端用铰链固定在墙上，B点用轻绳挂紧，使杆处于水平状态。在B点挂重为W的物体，如图所示，AB与OB的夹角为θ。在把重物的悬点向O端移动的过程中，求墙对杆的作用力的最小量值。【答案】Wcosθ25.[抗力与平衡]：如图所示，薄均质三角板，三边长AB、BC、AC分别为2R、R3、R，将此板板面垂直地放在光滑的、半径为R的铅直圆环中，在静止时，三角板的斜边AB与水平的夹角θ为多大？【答案】o30θ=ACBFcOA(2,0)XB(0,2,3)C(-2,0)FAy1A2OBA0OCABθ-6-26.[力矩与平衡]：如图所示，代表某一铅直平面，在此面内有两根均匀细杆AB和BC，质量相同，长度分别为21,它们共同接触水平地面，端点记为B，各自的另一端A和C分别靠在相对的两堵垂直墙上。已知墙面间距离为，且+≠212121,,,，且系统处处无摩擦，试求两杆平衡时它们与水平地面倾斜角φ1、φ2各多大？【答案】φ1=φ2=211cos+－27.[抗力与平衡]：如图所示，一轻质木板EF长为L，E端用铰炼固定在铅直墙面上，另一端用水平轻绳FD拉住。木板上依次放着(2n+1)个圆柱体，半径均为R，每个圆柱体重量均为W，木板与墙的夹角为α，一切摩擦都可略去，求FD绳上的张力T。【答案】)tann2cossin1sin1(WRL1n2T2228.[抗力与平衡]：一空心圆环形圆管沿一条直径截成两部分，一半竖立在铅垂平面内，如图所示，管口联机在一水平线上，向管内入与管壁相切的小钢珠，左、右侧第一个钢珠都与圆管截面相切。已知单个钢珠重W，共2n个，求从左边起第k个和第k+1个纲珠之间的相互作用正向力量值Nk。假设系统中处处无摩擦。【答案】)2/sin()2/sin(nwnkNk29.[重力与平衡]：用20块质量均匀分布相同光滑积木块，在光滑水平面上一块迭一块地搭成单孔桥。已知每一称木块的长度为L，横截面是边长为h(h=L/4)的正方形。要求此桥具有最大的跨度（即桥孔底宽）。如右示意图，计算跨度K与桥1246789BCAιι1ι2ψ1ψ2EFD12n+12n+112kK+12n2n-1KHL1035h=4L-7-孔高度H的比值。【答案】K/H=1.25830.[力矩与平衡]：如图所示，物体A、B及滚轮C质量均为M。滚轮C由固定在一起的两个同心圆盘组成，半径分别为2r和r各接触面静摩擦系数均为μ，求维持系统平衡时，μ最小值为多少？【答案】1/331.[力矩与平衡]：一个半径为r的均匀球，球重W，靠在铅直墙边，球跟墙面和水平地面间的静摩擦系数均为μ，现在球上加一铅直向下的力F，如图所示。为了使球作逆时针方向转动，则力F之作用线与球心O之水平距离为何？(以F，W，μ，r表之)【答案】F)μ1(r)μ1(μ)WF(2+++32.[摩擦与平衡]：如图所示，质量M1之物体P与质量为M2之物体Q以细绳连接跨过一光滑小滑轮，放置于与水平成45∘角之两倾斜面上，呈静力平衡，设物体与斜面之摩擦系数为0.5。问：(a)若将此系统以顺时钟方向慢慢旋转，旋转θ角时物体开始滑动，则tanθ为若干？(b)若将此系统以逆时钟方向慢慢旋转，旋转θ角时物体开始滑动，则tanθ为若干？【答案】(a)212133tanMMMM－(b)211233tanMMMM－33.[摩擦与平衡]：两个质量相等的物体，用细绳通过滑轮加以连结，一个放在水平面上，为一个放在斜面上，而物体与接触面之摩擦系数均为μ，水平面与斜面间之夹角为Φ，要使两物系统开始运动，角度Φ有一最大值试求此Φ角之余弦cosΦ的值为多少？BCAr2rOSFOQPM1M245∘φ-8-【答案】cosΦ=1或cosΦ1μ1μ22+=－34.[摩擦与夹具]：如图所示，用夹具夹一半径为R的球体，夹具每个臂与球面之间的摩擦系数均为μ，为了能够夹住球体，试问夹具的臂长L至少应为多少？设重力的影响可忽略。【答案】LR/μ35.[摩擦与平衡]：三个半径、质量均相同的圆柱体如图的方式堆放在地面，互相接触。已知圆柱体之间的摩擦系数为1μ，圆柱体与地面之间的摩擦系数为2μ，试求使三圆柱体达到平衡所需之1μ、2μ的最小值。【答案】)32(3132121